《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学》

21. (10 分)新考向 传统文化(常州中考)书画装裱是为书画配上衬纸、卷轴,以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族传统的特殊艺术. 如图,一幅书画在装裱前的尺寸是$1.2m×0.8m$. 装裱后,上、下、左、右边衬的宽分别是 a m,b m,c m,d m. 若装裱后 AB 与 AD 的长度之比是$16:10$,且$a= b,c= d,c= 2a$,求四周边衬的宽.
由题意，得 $AB = (1.2 + c + d)$ m，$AD = (0.8 + a + b)$ m. ∵ $a = b$，$c = d$，∴ $AB = (1.2 + 2c)$ m，$AD = (0.8 + 2a)$ m. 由题意，得 $\begin{cases} 10(1.2 + 2c) = 16(0.8 + 2a) \\ c = 2a \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = 0.1 \\ c = 0.2 \end{cases}$ ∴ $b = 0.1$，$d = 0.2$. ∴ 上、下、左、右边衬的宽分别是 0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m.

答案： 由题意，得 $AB = (1.2 + c + d)$ m，$AD = (0.8 + a + b)$ m.
∵ $a = b$，$c = d$，
∴ $AB = (1.2 + 2c)$ m，$AD = (0.8 + 2a)$ m. 由题意，得 $\begin{cases} 10(1.2 + 2c) = 16(0.8 + 2a) \\ c = 2a \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = 0.1 \\ c = 0.2 \end{cases}$
∴ $b = 0.1$，$d = 0.2$.
∴ 上、下、左、右边衬的宽分别是 0.1 m，0.1 m，0.2 m，0.2 m.

22. (12 分)新考法 新定义题 把$y= ax+b$(a,b 是常数)这样的方程称为“雅系二元一次方程”. 当$y= x$时,“雅系二元一次方程”$y= ax+b$中 x 的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”.
(1)求“雅系二元一次方程”$y= -2x+3$的“完美值”.
当 $y = x$ 时，$x = -2x + 3$，解得 $x =$1. ∴ “雅系二元一次方程” $y = -2x + 3$ 的“完美值”为1.
(2)若 -1 是“雅系二元一次方程”$y= 5x+m$的“完美值”，求 m 的值.
把 $x = -1$，$y = x$ 代入 $y = 5x + m$，得 $-1 = -5 + m$，解得 $m =$4.
(3)是否存在 n 使“雅系二元一次方程”$y= -x+n-1$与$y= \frac {1}{2}x-n$(n 为常数)的“完美值”相同？若存在，求出 n 的值及此时的“完美值”；若不存在，请说明理由.
存在. 把 $y = x$ 代入 $y = -x + n - 1$，得 $x = -x + n - 1$，解得 $x =$$\frac{n - 1}{2}$；把 $y = x$ 代入 $y = \frac{1}{2}x - n$，得 $x = \frac{1}{2}x - n$，解得 $x =$$-2n$. ∵ “雅系二元一次方程” $y = -x + n - 1$ 与 $y = \frac{1}{2}x - n$ ($n$ 为常数)的“完美值”相同，∴ $\frac{n - 1}{2} = -2n$，解得 $n =$$\frac{1}{5}$. ∴ $\frac{n - 1}{2} = -2n =$$-\frac{2}{5}$. ∴ 存在 $n =$$\frac{1}{5}$，使“雅系二元一次方程” $y = -x + n - 1$ 与 $y = \frac{1}{2}x - n$ ($n$ 为常数)的“完美值”相同，此时的“完美值”为$-\frac{2}{5}$.

答案：
(1) 当 $y = x$ 时，$x = -2x + 3$，解得 $x = 1$.
∴ “雅系二元一次方程” $y = -2x + 3$ 的“完美值”为 1.
(2) 把 $x = -1$，$y = x$ 代入 $y = 5x + m$，得 $-1 = -5 + m$，解得 $m = 4$.
(3) 存在. 把 $y = x$ 代入 $y = -x + n - 1$，得 $x = -x + n - 1$，解得 $x = \frac{n - 1}{2}$；把 $y = x$ 代入 $y = \frac{1}{2}x - n$，得 $x = \frac{1}{2}x - n$，解得 $x = -2n$.
∵ “雅系二元一次方程” $y = -x + n - 1$ 与 $y = \frac{1}{2}x - n$ ($n$ 为常数)的“完美值”相同，
∴ $\frac{n - 1}{2} = -2n$，解得 $n = \frac{1}{5}$.
∴ $\frac{n - 1}{2} = -2n = -\frac{2}{5}$.
∴ 存在 $n = \frac{1}{5}$，使“雅系二元一次方程” $y = -x + n - 1$ 与 $y = \frac{1}{2}x - n$ ($n$ 为常数)的“完美值”相同，此时的“完美值”为 $-\frac{2}{5}$.