《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学》

18.(12分)在平面直角坐标系中,点$A的坐标为(6m+7,4m-1)$.
(1)当点$A$的纵坐标比横坐标小2时,求点$A$的坐标；
(2)当点$A$到两坐标轴的距离相等时,求点$A$的坐标.

答案：
(1)由题意,得4m−1=6m+7−2，解得m=−3。当m=−3时,6m+7=−11,4m−1=−13。
∴点A的坐标为(−11,−13)。
(2)由题意,得6m+7=4m−1或6m+7=−(4m−1)，
∴m=−4或m=−$\frac{3}{5}$。当m=−4时,6m+7=−17,4m−1=−17。
∴点A的坐标为(−17,−17)。当m=−$\frac{3}{5}$时,6m+7=$\frac{17}{5}$,4m−1=−$\frac{17}{5}$。
∴点A的坐标为($\frac{17}{5}$,−$\frac{17}{5}$)。综上所述，点A的坐标为(−17,−17)或($\frac{17}{5}$,−$\frac{17}{5}$)。

19.(14分)三角形$ABC$在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)直接写出$A$,$B$,$C$三点的坐标,并求出三角形$ABC$的面积；
(2)三角形$ABC中任意一点P(x_{0},y_{0})经平移后的对应点为P_{1}(x_{0}+4,y_{0}-3)$,将三角形$ABC进行同样的平移得到三角形A_{1}B_{1}C_{1}$,请作出平移后的图形,并写出点$A_{1}$,$B_{1}$,$C_{1}$的坐标.

答案：

(1)A(−2,3),B(−6,2),C(−9,7)。三角形ABC的面积为5×7−$\frac{1}{2}$×3×5−$\frac{1}{2}$×4×1−$\frac{1}{2}$×4×7=11.5。
(2)如图,三角形A1B1C1为所求作，点A1,B1,C1的坐标分别为(2,0),(−2,−1),(−5,4)。

20.(16分)新考法 探究题 如图,在平面直角坐标系中,点$A$,$B$的坐标分别为$(0,a)$,$(b,a)$,且实数$a$,$b$满足$(a - 3)^{2}+|b - 5| = 0$. 现同时将点$A$,$B$先向下平移3个单位长度,再向左平移1个单位长度,分别得到点$A$,$B$的对应点$C$,$D$,连接$AC$,$BD$,$AB$.
(1)点$C$的坐标是(−1,0),点$D$的坐标是(4,0),平行四边形$ABDC$的面积是15.
(2)在$y$轴上是否存在一点$M$,连接$MC$,$MD$,使$S_{\triangle MCD}= S_{平行四边形ABDC}$？若存在这样的点,求出它的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
(1)(−1,0);(4,0);15。
(2)存在。
∵C(−1,0),D(4,0)，
∴CD=5。设M(0,y)。由题意，得S三角形MCD=$\frac{1}{2}$×5|y|=15。
∴y=±6。
∴点M的坐标为(0,6)或(0,−6)。