《2025年新暑假生活七年级数学华师大版》

三、解下列方程组.
1. $\left\{\begin{array}{l} \frac {5x}{3}+4y= 10.4,\\ \frac {3x}{4}+0.5y= 1.95.\end{array} \right.$ 
2. $\left\{\begin{array}{l} 2(x-y)-5(x+y)+1= 0,\\ \frac {x-y}{7}-\frac {x+y}{6}= \frac {1}{2}.\end{array} \right.$ 

答案： 1.
步骤一：对原方程组进行化简
给方程$\frac{5x}{3}+4y = 10.4$两边同时乘以$3$，得到$5x + 12y=31.2$ ①；
给方程$\frac{3x}{4}+0.5y = 1.95$两边同时乘以$4$，得到$3x + 2y = 7.8$，再两边同时乘以$6$，得到$18x+12y = 46.8$ ②。
步骤二：消元求解$x$
用②$-$①消去$y$：
$(18x + 12y)-(5x + 12y)=46.8 - 31.2$
$18x+12y - 5x - 12y=15.6$
$13x=15.6$
解得$x = 1.2$。
步骤三：将$x = 1.2$代入方程求$y$
把$x = 1.2$代入$3x + 2y = 7.8$，即$3×1.2+2y = 7.8$，
$3.6+2y = 7.8$，
$2y=7.8 - 3.6$，
$2y = 4.2$，
解得$y = 2.1$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 1.2\\y = 2.1\end{cases}$。
2. 
步骤一：设$m=x - y$，$n=x + y$，对原方程组进行变形
原方程组变为$\begin{cases}2m-5n+1 = 0\\\frac{m}{7}-\frac{n}{6}=\frac{1}{2}\end{cases}$。
由$2m-5n+1 = 0$可得$2m-5n=-1$ ③；
给$\frac{m}{7}-\frac{n}{6}=\frac{1}{2}$两边同时乘以$42$，得到$6m-7n = 21$ ④。
步骤二：消元求解$n$
③$×3-$④消去$m$：
$3×(2m - 5n)-(6m - 7n)=-1×3 - 21$
$6m-15n-6m + 7n=-3 - 21$
$-8n=-24$
解得$n = 3$。
步骤三：将$n = 3$代入方程求$m$
把$n = 3$代入③$2m-5×3=-1$，
$2m-15=-1$，
$2m=15 - 1$，
$2m = 14$，
解得$m = 7$。
步骤四：回代求解$x$和$y$
因为$m=x - y = 7$，$n=x + y = 3$，
则$\begin{cases}x - y = 7\\x + y = 3\end{cases}$，
两式相加得$(x - y)+(x + y)=7 + 3$，
$2x=10$，解得$x = 5$，
把$x = 5$代入$x + y = 3$，得$5 + y = 3$，解得$y=-2$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 5\\y=-2\end{cases}$。
综上，答案依次为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 1.2\\y = 2.1\end{cases}}$；$\boldsymbol{\begin{cases}x = 5\\y=-2\end{cases}}$。

四、解答题.
一家商店进行装修.如果请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共计3520元;如果先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可以完成,需付两组费用共计3480元,问:
(1)甲、乙两组工作一天,商店各应付多少钱?
(2)单独请哪组装修,商店所付费用较少?
(3)如果装修完后,商店每天可赢利200元,你认为如何安排施工更有利于商店经营? 说说你的理由.

答案： $(1)$求甲、乙两组工作一天商店各应付的钱数
设甲组工作一天商店应付$x$元，乙组工作一天商店应付$y$元。
根据“甲、乙两个装修组同时施工，$8$天可以完成，需付两组费用共计$3520$元”，可列方程$8x + 8y = 3520$，化简为$x + y = 440$，即$y = 440 - x$。
再根据“甲组单独做$6$天，再请乙组单独做$12$天可以完成，需付两组费用共计$3480$元”，可列方程$6x + 12y = 3480$。
将$y = 440 - x$代入$6x + 12y = 3480$中：
$\begin{aligned}6x + 12(440 - x)&=3480\\6x + 5280 - 12x&=3480\\- 6x&=3480 - 5280\\- 6x&=-1800\\x&=300\end{aligned}$
把$x = 300$代入$y = 440 - x$，得$y = 440 - 300 = 140$。
所以甲组工作一天商店应付$300$元，乙组工作一天商店应付$140$元。
$(2)$判断单独请哪组装修商店所付费用较少
设工作总量为$1$，甲组一天的工作效率为$a$，乙组一天的工作效率为$b$。
由“甲、乙两个装修组同时施工，$8$天可以完成”，可得$8(a + b)=1$，即$a + b=\frac{1}{8}$。
由“甲组单独做$6$天，再请乙组单独做$12$天可以完成”，可得$6a + 12b = 1$，化简为$a + 2b=\frac{1}{6}$。
用$a + 2b=\frac{1}{6}$减去$a + b=\frac{1}{8}$：
$\begin{aligned}a + 2b-(a + b)&=\frac{1}{6}-\frac{1}{8}\\a + 2b - a - b&=\frac{4}{24}-\frac{3}{24}\\b&=\frac{1}{24}\end{aligned}$
把$b=\frac{1}{24}$代入$a + b=\frac{1}{8}$，得$a=\frac{1}{8}-\frac{1}{24}=\frac{3 - 1}{24}=\frac{1}{12}$。
那么甲组单独完成需要$1÷\frac{1}{12} = 12$天，费用为$12×300 = 3600$元；
乙组单独完成需要$1÷\frac{1}{24}=24$天，费用为$24×140 = 3360$元。
因为$3600＞3360$，所以单独请乙组装修，商店所付费用较少。
$(3)$分析如何安排施工更有利于商店经营
甲单独做，需费用$3600$元，少赢利$200×12 = 2400$元，相当于损失$3600 + 2400 = 6000$元。
乙单独做，需费用$3360$元，少赢利$200×24 = 4800$元，相当于损失$3360 + 4800 = 8160$元。
甲乙合作，需费用$3520$元，少赢利$200×8 = 1600$元，相当于损失$3520 + 1600 = 5120$元。
因为$5120＜6000＜8160$，所以甲乙合作损失费用最少， 安排甲乙两个装修组同时施工更有利于商店经营。
综上，答案依次为：$(1)$甲组$300$元，乙组$140$元；$(2)$乙组；$(3)$甲乙两组同时施工，理由见上述分析。