《2025年世超金典暑假乐园暑假七年级数学人教版》

2. 如下左图,若满足条件$∠A = ∠3$,则有$AB// CD$,理由是同位角相等，两直线平行（答案不唯一）.(要求：不再添加辅助线,只需填一个答案即可)

答案： $∠A = ∠3$ 同位角相等，两直线平行（答案不唯一）

3. 如上右图,已知$\angle 1 = 75^{\circ}$,将直线$m平行移动到直线n$的位置,则$\angle 2 - \angle 3 = $105$^{\circ}$.

答案： 1. 首先，过$\angle2$的顶点作直线$l// m$：
因为$m// n$，$l// m$，根据平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），所以$l// n$。
由$l// m$，根据两直线平行，同旁内角互补，可得$\angle1+\angle4 = 180^{\circ}$（设$\angle2$被$l$所截形成的与$\angle1$同旁内角为$\angle4$），已知$\angle1 = 75^{\circ}$，则$\angle4=180^{\circ}-\angle1 = 180 - 75=105^{\circ}$。
又因为$l// n$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle5=\angle3$（设$\angle2$被$l$所截形成的与$\angle3$内错角为$\angle5$）。
2. 然后，根据$\angle2=\angle4 + \angle5$：
把$\angle4 = 105^{\circ}$，$\angle5=\angle3$代入$\angle2=\angle4+\angle5$，可得$\angle2=105^{\circ}+\angle3$。
移项可得$\angle2-\angle3 = 105^{\circ}$。
所以$\angle2-\angle3 = 105^{\circ}$。

4. 两个角的两边分别互相平行,其中一个角是另一个角的$3$倍,则这两个角的度数分别是$45^{\circ}, 135^{\circ}$.

答案： $45^{\circ}, 135^{\circ}$

5. 命题“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”的题设是两条直线都与第三条直线平行,结论是这两条直线也互相平行.

答案： 两条直线都与第三条直线平行 这两条直线也互相平行

1. 如图,$AB// CD$,$\angle 1 = \angle 2$,请问$\angle E与\angle EFC$相等吗？为什么？

答案：
解：$∠E = ∠EFC$。理由：延长 $CF$ 与 $AB$ 的延长线交于点 $G$。

$\because AB // CD, \therefore ∠AGC = ∠2$。
又 $∠1 = ∠2, \therefore ∠1 = ∠AGC$。
$\therefore BE // CG. \therefore ∠E = ∠EFC$。

2. 如图,$DG\perp BC$,$AC\perp BC$,$EF\perp AB$,$\angle 1 = \angle 2$. 求证：$EF// CD$.
证明：$\because DG ⊥ BC, AC ⊥ BC$，
$\therefore ∠DGB = ∠ACB = 90^{\circ}$（垂直定义）。
$\therefore DG // AC$（同位角相等，两直线平行）。
$\therefore ∠2 = ∠ACD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠1 = ∠2, \therefore ∠1 = ∠ACD$。
$\therefore EF // CD$（同位角相等，两直线平行）。

答案： 证明：$\because DG ⊥ BC, AC ⊥ BC$，
$\therefore ∠DGB = ∠ACB = 90^{\circ}$（垂直定义）。
$\therefore DG // AC$（同位角相等，两直线平行）。
$\therefore ∠2 = ∠ACD$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠1 = ∠2, \therefore ∠1 = ∠ACD$。
$\therefore EF // CD$（同位角相等，两直线平行）。