《2025年暑假作业西南大学出版社七年级》

24. 若关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + y = 5,\\4ax + 5by = - 22\end{cases}$与$\begin{cases}2x - y = 1,\\ax - by - 8 = 0\end{cases}$有相同的解，求$a$，$b$的值。
$a=$1，$b=$-2

答案： 解：因为两个方程组有相同的解，所以先联立$\begin{cases}x + y = 5 \\2x - y = 1 \end{cases}$
将两式相加消去$y$得：$x + y+2x - y = 5 + 1$，即$3x = 6$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$x + y = 5$得：$2 + y = 5$，解得$y = 3$。
把$x = 2$，$y = 3$代入$\begin{cases}4ax + 5by = - 22 \\ax - by - 8 = 0 \end{cases}$，得到$\begin{cases}8a + 15b = - 22&(1)\\2a - 3b = 8&(2) \end{cases}$
由$(2)$式得$2a = 8 + 3b$，即$a=\dfrac{8 + 3b}{2}$，将其代入$(1)$式：
$8×\dfrac{8 + 3b}{2}+15b = - 22$
$4×(8 + 3b)+15b = - 22$
$32+12b + 15b = - 22$
$27b = - 22 - 32$
$27b = - 54$
解得$b = - 2$。
把$b = - 2$代入$a=\dfrac{8 + 3b}{2}$得：$a=\dfrac{8+3×(-2)}{2}=\dfrac{8 - 6}{2}=1$。
综上，$a = 1$，$b = - 2$。

25. 代数式$\dfrac{x + 3}{5}$的值能否同时大于代数式$2x + 3$和$1 - x$的值？请说明理由。

答案： 解：假设代数式$\dfrac{x + 3}{5}$的值能同时大于代数式$2x + 3$和$1 - x$的值，则可列出不等式组：
$\begin{cases}\dfrac{x + 3}{5}＞2x + 3&(1)\\\dfrac{x + 3}{5}＞1 - x&(2)\end{cases}$
解不等式$(1)$：
$\dfrac{x + 3}{5}＞2x + 3$
两边同时乘以$5$得：$x + 3＞10x + 15$
移项得：$x - 10x＞15 - 3$
合并同类项得：$-9x＞12$
两边同时除以$-9$，不等号变向得：$x＜-\dfrac{4}{3}$
解不等式$(2)$：
$\dfrac{x + 3}{5}＞1 - x$
两边同时乘以$5$得：$x + 3＞5 - 5x$
移项得：$x + 5x＞5 - 3$
合并同类项得：$6x＞2$
两边同时除以$6$得：$x＞\dfrac{1}{3}$
因为$x＜-\dfrac{4}{3}$与$x＞\dfrac{1}{3}$没有公共部分，即此不等式组无解。
所以代数式$\dfrac{x + 3}{5}$的值不能同时大于代数式$2x + 3$和$1 - x$的值。

26. 若不等式组$\begin{cases}x + m ＜ n,\\x - n ＞ m\end{cases}$的解集是$- 3 ＜ x ＜ 5$，求不等式$mx - n ＜ 0$的解集。

答案： 1. 首先解不等式组$\begin{cases}x + m\lt n\\x - n\gt m\end{cases}$：
解不等式$x + m\lt n$：
根据不等式的性质，移项可得$x\lt n - m$。
解不等式$x - n\gt m$：
根据不等式的性质，移项可得$x\gt m + n$。
所以不等式组$\begin{cases}x + m\lt n\\x - n\gt m\end{cases}$的解集为$m + n\lt x\lt n - m$。
2. 然后，因为不等式组$\begin{cases}x + m\lt n\\x - n\gt m\end{cases}$的解集是$-3\lt x\lt5$：
则可得方程组$\begin{cases}m + n=-3\\n - m = 5\end{cases}$。
将两个方程相加：
$(m + n)+(n - m)=-3 + 5$。
去括号得$m + n+n - m=-3 + 5$，合并同类项得$2n = 2$，解得$n = 1$。
把$n = 1$代入$m + n=-3$：
得$m+1=-3$，解得$m=-4$。
3. 最后，求不等式$mx - n\lt0$的解集：
把$m=-4$，$n = 1$代入$mx - n\lt0$，得到$-4x-1\lt0$。
移项得$-4x\lt1$。
根据不等式的性质，不等式两边同时除以$-4$，不等号方向改变，即$x\gt-\frac{1}{4}$。
所以不等式$mx - n\lt0$的解集是$x\gt-\frac{1}{4}$。

采蘑菇的故事
清晨，甲、乙、丙、丁四个小朋友走进蘑菇基地采蘑菇。
上午$9$时，他们准备往回走。走出蘑菇基地之前，每人数了数篮子里的蘑菇，四个人加起来总共有$72$朵。但甲采的蘑菇只有一半能吃，在往回走的路上，甲把不能吃的蘑菇全都丢了；乙的篮子底坏了，漏下两只，被丙拾起来放在篮子里。这时，他们三个人的蘑菇数正好相等。而丁呢，他在出蘑菇基地的路上又采了一些，使篮子里的蘑菇数量增加了一倍。
走出蘑菇基地后，他们坐下来，又每人各自数了数篮子里的蘑菇。这次，大家的数量都相等。
你算算看，他们准备往回走时，每人篮子里各有多少朵蘑菇？走出蘑菇基地后，每个人又有多少朵蘑菇？聪明的你知道吗？

答案： 解：设走出蘑菇基地后每人有$x$朵蘑菇。
因为丁在出基地路上使蘑菇数量增加一倍后为$x$朵，所以准备往回走时丁有$\frac{x}{2}$朵。
甲把不能吃的蘑菇丢了（丢了一半）后为$x$朵，所以准备往回走时甲有$2x$朵。
乙漏下两只后为$x$朵，所以准备往回走时乙有$(x + 2)$朵。
丙拾了乙漏的两只后为$x$朵，所以准备往回走时丙有$(x-2)$朵。
已知四人准备往回走时蘑菇总数为$72$朵，则可列方程：
$2x+(x + 2)+(x-2)+\frac{x}{2}=72$
$2x+x + 2+x-2+\frac{x}{2}=72$
$(2x+x+x+\frac{x}{2})=72$
$(4x+\frac{x}{2})=72$
$\frac{8x + x}{2}=72$
$\frac{9x}{2}=72$
$9x=72×2$
$9x = 144$
$x = 16$
那么准备往回走时：
甲：$2x=2×16 = 32$（朵）
乙：$x + 2=16+2 = 18$（朵）
丙：$x-2=16-2 = 14$（朵）
丁：$\frac{x}{2}=\frac{16}{2}=8$（朵）
答：准备往回走时，甲有$32$朵，乙有$18$朵，丙有$14$朵，丁有$8$朵；走出蘑菇基地后每人有$16$朵。