《2025年暑假作业西南大学出版社七年级》

24. 如图，已知在平面直角坐标系中，$A(-4,0)$，$B(6,0)$，$C(2,4)$，$D(-3,2)$。
(1)求四边形$ABCD$的面积；24

(2)试在$y$轴上找一点$P$，使三角形$PAB$的面积等于四边形$ABCD$面积的一半，求点$P$的坐标。$(0,2.4)$或$(0,-2.4)$

答案：
(1) 24
(2) $(0,2.4)$或$(0,-2.4)$

韩信点兵
韩信是我国汉代著名的将军，曾经统率过千军万马，他对手下士兵的数目了如指掌。他统计士兵数目有个独特的方法，后人称为“韩信点兵”。他的方法是这样的：部队集合齐后，他让士兵分别按“1，2，3”“1，2，3，4，5”“1，2，3，4，5，6，7”的顺序报三次数，然后把每次的余数报告给他，他便知道部队的人数。
有人用一首诗概括了这个问题的解法：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。这意思就是，第一次余数乘 70，第二次余数乘 21，第三次余数乘 15，把这三次运算的结果加起来，再除以 105，所得的除不尽的余数便是所求之数(即总数)。例如，如果 3 个 3 个地报数余 1，5 个 5 个地报数余 2，7 个 7 个地报数余 3，则总数为 52。算式如下：
$1×70+2×21+3×15=157$
$157÷105=1\cdots\cdots52$
下面这道题目请用“韩信点兵”法算一算。
小红暑假期间帮着张二婶喂鸭子，她总数不清一共有多少只鸭子。她先是 3 只 3 只地数，结果刚好数完；她又 5 只 5 只地数，结果剩 4 只；她又 7 只 7 只地数了一遍，结果剩 6 只。张二婶至少喂了多少只鸭子？69

答案： 【解析】：根据“韩信点兵”的方法，3只3只地数刚好数完，余数为0；5只5只地数剩4只，余数为4；7只7只地数剩6只，余数为6。按照规则，第一次余数乘70，第二次余数乘21，第三次余数乘15，然后把这三次运算的结果加起来，即$0\times70 + 4\times21+6\times15$
$=84 + 90=174$。再用所得结果除以105，$174\div105 = 1\cdots\cdots69$，所得的除不尽的余数69便是所求之数，也就是鸭子至少的数量。
【答案】：69