《2025年暑假作业完美假期生活湖南教育出版社七年级数学》

18. 如图,在五边形ABCDE中,$AB= AE$,$BC+DE= CD$,$∠ABC+∠AED= 180^{\circ}$. 求证：
(1)AD平分$∠CDE$；
(2)$∠BAE= 2∠CAD$.

答案：

(1)证明：把$\triangle ABC$旋转$\angle BAE$的度数如图：
$\because AB = AE$，$\angle ABC + \angle AED = 180^{\circ}$。

$\therefore$把$\triangle ABC$旋转$\angle BAE$的度数后$BC$和$EC'$重合，
且$\angle ABC = \angle AEC'$，$BC = EC'$，
$\therefore \angle AEC' + \angle AED = 180^{\circ}$，
$\therefore D$，$E$，$C$三点共线。
$\because \triangle ABC \cong \triangle AEC'$，
$\therefore AC = AC'$，
又$BC + DE = CD$，$BC = EC'$，
$\therefore CD = DC'$，在$\triangle ACD$和$\triangle AC'D$中，$\begin{cases} AC = AC' \\ AD = AD \\ CD = C'D \end{cases}$，
$\therefore \triangle ACD \cong \triangle AC'D$，$\therefore \angle CDA = \angle ADC'$，$\therefore AD$平分$\angle CDE$。
(2)$\because \triangle ABC \cong \triangle AEC'$，$\therefore \angle BAC = \angle EAC'$，$\therefore \angle BAE = \angle CAC'$。
由
(1)得：$\triangle ACD \cong \triangle ADC'$，$\therefore \angle CAD = \angle DAC'$，$\therefore 2\angle CAD = \angle CAC'$，$\therefore \angle BAE = 2\angle CAD$。

19. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系,格点(网格线的交点)A,B,C的坐标分别为$(-2,-2)$,$(1,-2)$,$(-3,0)$.

(1)将$\triangle ABC进行某种平移得到\triangle A_1B_1C_1$,使点A和$A_1$关于原点O成中心对称,画出$\triangle A_1B_1C_1$；
(2)以点O为旋转中心,将$\triangle ABC顺时针旋转90^{\circ}得到\triangle A_2B_2C_2$,画出$\triangle A_2B_2C_2$；
(3)用无刻度的直尺画出直线$OD\perp B_1C_1$,写出满足条件的格点D的坐标. (写出一个即可)

答案：

(1)先向右平移四个单位长度，再向上平移四个单位长度；作图如下：
(2)如图所示：
(3)$D(1, 2)$，作图如下：