《2025年全品学练考九年级数学上册人教版》

12. (14 分)如图 8-M-9,点 A 在第一象限内,$\odot A$与 x 轴相切于点 B,与 y 轴相交于点 C,D,连接 AB,过点 A 作$AH⊥CD$于点 H.
(1)求证:四边形 ABOH 为矩形;
(2)已知$\odot A$的半径为 4,$OB=\sqrt {7}$,求弦 CD 的长.

答案：
(1)略
(2)6

13. (14 分)如图 8-M-10,AN 是$\odot M$的直径,$NB// x$轴,AB 交$\odot M$于点 C.
(1)若$A(0,6),N(0,2),∠ABN=30^{\circ }$,求点 B 的坐标;
(2)若 D 为线段 NB 的中点,求证:直线 CD 是$\odot M$的切线.

答案：
(1)$ B(4\sqrt{3},2) $
(2)证明:连接 $ MC $, $ NC $.
$ \because AN $ 是 $ \odot M $ 的直径, $ \therefore \angle ACN = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle NCB = 90^{\circ} $.
在 $ Rt\triangle NCB $ 中, $ \because D $ 为 $ NB $ 的中点,
$ \therefore CD = \frac{1}{2}NB = ND $,
$ \therefore \angle CND = \angle NCD $.
$ \because MC = MN $,
$ \therefore \angle MCN = \angle MNC $.
$ \because \angle MNC + \angle CND = 90^{\circ} $,
$ \therefore \angle MCN + \angle NCD = 90^{\circ} $, 即 $ MC \perp CD $.
又 $ \because MC $ 是 $ \odot M $ 的半径,
$ \therefore $ 直线 $ CD $ 是 $ \odot M $ 的切线.

14. (17 分)如图 8-M-11,四边形 ABCD 是平行四边形,以 AB 为直径的$\odot O$经过点 D,与 DC 交于点 E,连接 AE,$∠EAB=∠EAD$.过点 E 作$EF⊥AD$,与 AD 的延长线交于点 F.
(1)求证:EF 是$\odot O$的切线;
(2)求$∠C$的度数.

答案：
(1)略
(2)$ 60^{\circ} $