《2025年暑假生活湖南少年儿童出版社五年级语数综合》

五、筑路队修一条公路,第一周修了全长的$\frac{1}{6}$,第二周修了全长的$\frac{2}{9}$,还剩这条公路的几分之几没修?

答案： 【解析】：把这条公路的全长看作单位“1”，用单位“1”依次减去第一周和第二周修的分率，即可求出剩下没修的分率。列式为$1-\frac{1}{6}-\frac{2}{9}$，先通分，$1=\frac{18}{18}$，$\frac{1}{6}=\frac{3}{18}$，$\frac{2}{9}=\frac{4}{18}$，则$1-\frac{1}{6}-\frac{2}{9}=\frac{18}{18}-\frac{3}{18}-\frac{4}{18}=\frac{18 - 3 - 4}{18}=\frac{11}{18}$。
【答案】：$\frac{11}{18}$

孙武练兵
春秋时代有个伟大的军事家名叫孙武。有一天,他去见吴王阖闾。吴王问他能不能训练女兵,孙武说可以。于是吴王便拨了一百多位宫女给他。
孙武把宫女编成两队,用吴王最宠爱的两个妃子为队长,然后把一些军事的基本动作教给她们,并告诫她们要遵守军令,不可违背。不料孙武开始发令时,宫女们觉得好玩,都一个个笑了起来。孙武以为自己没把话说清楚,便重复一遍,等第二次再发令,宫女们还是只顾嬉笑。这次孙武生气了,便下令把队长拖去斩首,理由是队长领导无方。吴王听说要斩他的爱妃,急忙向他求情,但是孙武说:“君王既然已经把她们交给我来训练,我就必须依照军队的规定来管理她们,任何人违犯了军令都该接受处分,这是没有例外的。”结果还是把队长给杀了。
宫女们见他说到做到,都吓得脸色发白。第三次发令,没有一个人敢再开玩笑了。
孙武练兵的故事告诉我们:长官的命令是不可随意违抗的,所谓“军令如山”就是这个道理。同时这个故事也告诉我们:孙式能训练出精良的部队,是由于他训练军队非常严厉,丝毫不肯马虎。如果我们也能具备他这种认真的精神,相信每一件事必定都能非常圆满。
从孙武练兵我们联想到韩信点兵:
如果这些宫女编队,三三数之,剩二人,五五数之,剩三人,七七数之,剩二人,问:有多少宫女参加训练?
[解析]
除 3 余 1 且是 5 和 7 的公倍数中最小整数是 70;所以除 3 余 2 且为 5 和 7 的倍数的最小整数是$70×2 = 140$。
除 5 余 1 且是 3 和 7 的公倍数中最小整数是 21;所以除 5 余 3 且为 3 和 7 的倍数的最小整数是$21×3 = 63$。
除 7 余 1 且是 3 和 5 的公倍数中最小整数是 15;所以除 7 余 2 且为 3 和 5 的倍数的最小整数是$15×2 = 30$。
而$140 + 63 + 30 = 233$,即为除 3 余 2,除 5 余 3,除 7 余 2 的数。
又 3、5、7 的最小公倍数是 105,这样$233 - 105×2 = 23$,为所求数中最小的一个。
列出算式,即$70×2 + 21×3 + 15×2 - 105×2 = 23$(人)。
由于宫女一百多位,所以宫女数为$105 + 23 = 138$(人)。
有人发现要记住这种算法,关键在于记住 70、21、15、105 这 4 个数,于是人们就编了易懂易记的歌谣。其中明朝数学家程大位编的歌谣流传最广:“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除为零五便得知。”
这道题是典型的“中国剩余定理”题目,也称“孙子定理”。这个定理在数学史上占有重要的地位。我国数学史专家梁宗巨称赞它是“整个中国古代数学中最有创造性的成就之一”。

答案： 【解析】：
- 首先找出除$3$余$1$且是$5$和$7$的公倍数中最小整数是$70$，所以除$3$余$2$且为$5$和$7$的倍数的最小整数是$70×2 = 140$。
- 接着找出除$5$余$1$且是$3$和$7$的公倍数中最小整数是$21$，所以除$5$余$3$且为$3$和$7$的倍数的最小整数是$21×3 = 63$。
- 然后找出除$7$余$1$且是$3$和$5$的公倍数中最小整数是$15$，所以除$7$余$2$且为$3$和$5$的倍数的最小整数是$15×2 = 30$。
- 计算$140 + 63 + 30 = 233$，$233$是除$3$余$2$，除$5$余$3$，除$7$余$2$的数。
- 因为$3$、$5$、$7$的最小公倍数是$105$，$233 - 105×2 = 23$，$23$为所求数中最小的一个。
- 由于宫女一百多位，所以宫女数为$105 + 23 = 138$（人）。
【答案】：$138$人。