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1.
与三角形各边都相切的圆
叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心
叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.
答案：
与三角形各边都相切的圆 内切圆的圆心
2. 三角形的内心是
三个内角的平分线
的交点,到三边的距离相等
.
答案：
三个内角的平分线 相等
1. 下列关于三角形内心的说法,正确的是 (
A. 三角形的内心到三个顶点的距离相等
B. 直角三角形的内心在斜边的高上
C. 三角形的内心与外心不可能重合
D. 三角形的内心一定在三角形内部
D
)A. 三角形的内心到三个顶点的距离相等
B. 直角三角形的内心在斜边的高上
C. 三角形的内心与外心不可能重合
D. 三角形的内心一定在三角形内部
答案：
D
2. 如图 22 - 1,⊙O 是△ABC 的内切圆,若∠A = 70°,则∠BOC 的度数为 (
A. 125°
B. 115°
C. 100°
D. 130°
A
)A. 125°
B. 115°
C. 100°
D. 130°
答案：
A
3. 已知△ABC 的内切圆的半径为 2,△ABC 的周长为 10,那么△ABC 的面积为
10
.
答案：
10
4. 如图 22 - 2,⊙O 经过格点(网格线的交点)A,M,N,请仅用无刻度的直尺画出△AMN 的内心 I.
答案：
1. 首先明确内心的定义：
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
对于圆内接三角形，利用圆的性质：同弧所对的圆周角相等。
2. 然后进行作图步骤：
连接$AO$并延长交$\odot O$于点$B$，连接$BN$；连接$MO$并延长交$\odot O$于点$C$，连接$CN$。
因为$AO$是半径，$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AN}$，所以$\angle ABN=\angle ACN$（同弧所对的圆周角相等），$AO$平分$\angle MAN$（$\angle MAN$所对的弧$\overset{\frown}{MN}$，$AO$经过圆心，根据圆的对称性，$AO$平分$\angle MAN$）。
同理，$MO$平分$\angle AMN$（$\angle AMN$所对的弧$\overset{\frown}{AN}$，$MO$经过圆心，根据圆的对称性，$MO$平分$\angle AMN$）。
$BN$与$CN$的交点$I$就是$\triangle AMN$的内心。
所以，按照上述方法用无刻度直尺画出的$I$点即为$\triangle AMN$的内心。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
对于圆内接三角形，利用圆的性质：同弧所对的圆周角相等。
2. 然后进行作图步骤：
连接$AO$并延长交$\odot O$于点$B$，连接$BN$；连接$MO$并延长交$\odot O$于点$C$，连接$CN$。
因为$AO$是半径，$\overset{\frown}{AN}=\overset{\frown}{AN}$，所以$\angle ABN=\angle ACN$（同弧所对的圆周角相等），$AO$平分$\angle MAN$（$\angle MAN$所对的弧$\overset{\frown}{MN}$，$AO$经过圆心，根据圆的对称性，$AO$平分$\angle MAN$）。
同理，$MO$平分$\angle AMN$（$\angle AMN$所对的弧$\overset{\frown}{AN}$，$MO$经过圆心，根据圆的对称性，$MO$平分$\angle AMN$）。
$BN$与$CN$的交点$I$就是$\triangle AMN$的内心。
所以，按照上述方法用无刻度直尺画出的$I$点即为$\triangle AMN$的内心。
5. 如图 22 - 3,∠C = 90°,⊙O 为△ABC 的内切圆,切点分别为 D,E,F,求∠DFE 的度数.
答案：
解：连接$OD$，$OE$。
因为$\odot O$为$\triangle ABC$的内切圆，切点分别为$D$，$E$，$F$，所以$OD\perp AC$，$OE\perp BC$。
又因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以四边形$ODCE$是矩形。
因为$OD = OE$（圆的半径相等），所以四边形$ODCE$是正方形，所以$\angle DOE = 90^{\circ}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
$\angle DFE$是圆周角，$\angle DOE$是圆心角，且$\angle DFE$与$\angle DOE$都对弧$\overset{\frown}{DE}$，所以$\angle DFE=\dfrac{1}{2}\angle DOE$。
把$\angle DOE = 90^{\circ}$代入$\angle DFE=\dfrac{1}{2}\angle DOE$，得$\angle DFE = 45^{\circ}$。
综上，$\angle DFE$的度数为$45^{\circ}$。
因为$\odot O$为$\triangle ABC$的内切圆，切点分别为$D$，$E$，$F$，所以$OD\perp AC$，$OE\perp BC$。
又因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以四边形$ODCE$是矩形。
因为$OD = OE$（圆的半径相等），所以四边形$ODCE$是正方形，所以$\angle DOE = 90^{\circ}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半。
$\angle DFE$是圆周角，$\angle DOE$是圆心角，且$\angle DFE$与$\angle DOE$都对弧$\overset{\frown}{DE}$，所以$\angle DFE=\dfrac{1}{2}\angle DOE$。
把$\angle DOE = 90^{\circ}$代入$\angle DFE=\dfrac{1}{2}\angle DOE$，得$\angle DFE = 45^{\circ}$。
综上，$\angle DFE$的度数为$45^{\circ}$。
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