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1. 直径所对的圆周角是
直角
.
答案：
直角
2.
$90^{\circ}$的圆周角
所对的弦是直径.
答案：
$90^{\circ}$的圆周角
1. 如图 18 - 1,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,∠A = 20°,则∠ABC =
70°
答案：
70
2. 如图 18 - 2,等边三角形 ABC 的顶点都在⊙O 上,BD 是⊙O 的直径,则∠ACD =
30
答案：
30
3. 如图 18 - 3,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上的两点. 若∠BCD = 28°,则∠ABD =
62°
答案：
62
4. 如图 18 - 4,在△ABC 中,AB = AC,以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC,BC 于点 D,E.
(1)求证：E 是 BC 的中点；
(2)若∠C = 70°,求∠BOD 的度数.
(1)求证：E 是 BC 的中点；
(2)若∠C = 70°,求∠BOD 的度数.
答案：
1. （1）证明：
连接$AE$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），即$AE\perp BC$。
又因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），所以$BE = CE$，即$E$是$BC$的中点。
2. （2）解：
因为$AB = AC$，$\angle C = 70^{\circ}$，所以$\angle B=\angle C = 70^{\circ}$。
连接$AD$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\triangle ABD$中，$\angle A = 180^{\circ}-\angle B-\angle ADB$，$\angle A=180^{\circ}-2×70^{\circ}=40^{\circ}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，$\angle BOD = 2\angle A$（$\angle BOD$与$\angle A$所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}$）。
所以$\angle BOD = 80^{\circ}$。
综上，（1）得证；（2）$\angle BOD$的度数为$80^{\circ}$。
连接$AE$。
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角），即$AE\perp BC$。
又因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），所以$BE = CE$，即$E$是$BC$的中点。
2. （2）解：
因为$AB = AC$，$\angle C = 70^{\circ}$，所以$\angle B=\angle C = 70^{\circ}$。
连接$AD$，因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
在$\triangle ABD$中，$\angle A = 180^{\circ}-\angle B-\angle ADB$，$\angle A=180^{\circ}-2×70^{\circ}=40^{\circ}$。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的$2$倍，$\angle BOD = 2\angle A$（$\angle BOD$与$\angle A$所对的弧都是$\overset{\frown}{BD}$）。
所以$\angle BOD = 80^{\circ}$。
综上，（1）得证；（2）$\angle BOD$的度数为$80^{\circ}$。
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