《2025年全优课堂九年级数学下册冀教版河北专版》

18. 较难题 某学校游戏节活动中，设计了一个有奖转盘游戏，如图，A转盘被分成三个面积相等的扇形，B转盘被分成四个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，先转动A转盘，记下指针所指区域内的数字，再转动B转盘，记下指针所指区域内的数字（当指针在边界线上时，重新转动一次，直到指针指向一个区域内为止），然后，将两次记录的数据相乘.
（1）请利用列表格的方法，求出乘积结果为负数的概率；
（2）如果乘积是无理数时获得一等奖，那么获得一等奖的概率是多少？

答案： 解:
(1)列表如下:
| | 1.5 | -3 | $-\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1.5 | -3 | $-\sqrt{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| -1 | -1.5 | 3 | $\sqrt{2}$ | $-\frac{1}{2}$ |
所有等可能的情况有 12 种,乘积结果为负数的情况有 4 种,则$P$(乘积结果为负数)=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$;
(2)由
(1)中表格知乘积是无理数的情况有 2 种,则$P$(乘积为无理数)=$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$,$\therefore$获得一等奖的概率是$\frac{1}{6}$.

19. 如图，管中放置着三根同样的绳子$AA_{1}$，$BB_{1}$，$CC_{1}$.
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子$AA_{1}$的概率是多少？
（2）小明先从左端A，B，C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端$A_{1}$，$B_{1}$，$C_{1}$三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连接成一根长绳的概率.

答案： 解:
(1)小明可选择的情况有 3 种,每种情况发生的可能性相等,则小明恰好选中绳子$AA_1$的概率$P = \frac{1}{3}$;
(2)根据题意可知:分别在两端随机任选两个绳头打结,总共有 9 种情况,列表如下:
| 左端 右端 | $AB$ | $BC$ | $AC$ |
| --- | --- | --- | --- |
| $A_1B_1$ | $(AB,A_1B_1)$ | $(BC,A_1B_1)$ | $(AC,A_1B_1)$ |
| $B_1C_1$ | $(AB,B_1C_1)$ | $(BC,B_1C_1)$ | $(AC,B_1C_1)$ |
| $A_1C_1$ | $(AB,A_1C_1)$ | $(BC,A_1C_1)$ | $(AC,A_1C_1)$ |
其中左右打结是相同字母(不考虑下标)的情况,不可能连接成一根长绳,所以能连接成一根长绳的情况有 6 种:①左端连$AB$,右端连$A_1C_1$或$B_1C_1$;②左端连$BC$,右端连$A_1B_1$或$A_1C_1$;③左端连$AC$,右端连$A_1B_1$或$B_1C_1$.故这三根绳子能连接成一条长绳的情况有 6 种,$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

20. 中考新情境 推理能力 在一个不透明的口袋里装有分别标注2，4，6的3个小球（小球除数字不同外，其余都相同），另有3张背面完全一样，正面分别写有数字6，7，8的卡片.现从口袋中任意摸出一个小球，再从这3张背面朝上的卡片中任意摸出一张卡片.
（1）请你用列表的方法，表示出所有可能出现的结果；
（2）小红和小莉做游戏，制定了如下两个游戏规则：
规则1：若两次摸出的数字，至少有一次是“6”，小红赢；否则，小莉赢.
规则2：若摸出的卡片上的数字是球上数字的整数倍时，小红赢；否则，小莉赢.
小红要想在游戏中获胜，她会选择哪一种规则，并说明理由.

答案： 解:
(1)列表如下:
| 卡片 小球 | 6 | 7 | 8 |
| --- | --- | --- | --- |
| 2 | (2,6) | (2,7) | (2,8) |
| 4 | (4,6) | (4,7) | (4,8) |
| 6 | (6,6) | (6,7) | (6,8) |
(2)规则 1.理由:从表可知,共有 9 种等可能的结果,至少有一次是“6”的结果有 5 种,没有一次是“6”的结果有 4 种,$\therefore$小红赢的概率$P$(至少有一次是“6”)=$\frac{5}{9}$,小莉赢的概率是$\frac{4}{9}$,
$\because\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$,$\therefore$对于规则 1,小红获胜的概率大;卡片上的数字是球上数字的整数倍的有:(2,6),(2,8),(4,8),(6,6),共 4 种结果,卡片上的数字不是球上数字的整数倍的有:(2,7),(4,6),(4,7),(6,7),(6,8),共有 5 种结果,
$\therefore$小红赢的概率是$P$(卡片上的数字是球上数字的整数倍)=$\frac{4}{9}$,小莉赢的概率是$\frac{5}{9}$,$\because\frac{5}{9}＞\frac{4}{9}$,
$\therefore$对于规则 2,小莉获胜的概率大,
$\therefore$小红要想在游戏中获胜,她应该选择规则 1.