《2025年全优课堂九年级数学下册冀教版河北专版》

1. 例题变式教材P17，例2改编 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD//BC，若∠DAB=48°，则∠AOC的度数是 （ ）
A. 48° B. 96° C. 114° D. 132°
　　

答案： B

2. 例题变式教材P17，例2改编 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD=7，CE=5，则AE= （ ）
A. 3
B. 2$\sqrt{3}$
C. 2$\sqrt{6}$
D. 4$\sqrt{3}$

答案： C

3. 习题变式教材P18，AT2改编 如图，边长为a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则$\frac{S_{空白}}{S_{阴影}}$= ______.
　　

答案： $\frac{1}{5}$

4. 习题变式教材P18，AT2改编 如图，正方形剪去四个角后成为一个正八边形，如果正八边形的边长为2，求原正方形的边长.

答案：
解：如图，
∵正方形剪去四个角后成为一个正八边形，正八边形每个内角的度数为$\frac{(8 - 2)\times180^{\circ}}{8}=135^{\circ}$，
∴∠CAB = ∠CBA = 45°，
∴AC = BC，设AC = BC = x，根据勾股定理，得$x^{2}+x^{2}=2^{2}$，解得$x = \sqrt{2}$（负值已舍去），
∴BC = DE = $\sqrt{2}$，则EC = BC + DE + BD = $2\sqrt{2}+2$，故原正方形的边长为$2\sqrt{2}+2$.

5. 习题变式教材P18，AT1改编 尺规作图：在如图所示的圆中作一个中心角是40°的内接正多边形.(保留作图痕迹，不要求写出作法)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：所作正多边形如图所示.
提示：因为$360^{\circ}\div40^{\circ}=9$，所以中心角为$40^{\circ}$的正多边形是正九边形.
作法：①在圆中任意作一个圆心角为$40^{\circ}$的扇形；②以扇形的弦长为半径，依次在圆上画弧；③顺次连接弧与圆的交点即可得到正九边形.

6. 习题变式教材P18，AT1改编 如图，已知⊙O和⊙O上的一点A.
(1)作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
(2)在(1)题的作图中，如果点E在劣弧$\widehat{AD}$上，求证：DE是⊙O内接正十二边形的一边.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)作法：①作直径AC；
②作直径BD⊥AC；
③依次连接A，B，C，D四点.
四边形ABCD即为⊙O的内接正方形；
④分别以A，C为圆心，OA长为半径作弧，交⊙O于点E，H，F，G；
⑤依次连接A，E，F，C，G，H各点.
六边形AEFCGH即为⊙O的内接正六边形；

(2)证明：如图，连接OE，DE.
∵∠AOD = $\frac{360^{\circ}}{4}=90^{\circ}$，∠AOE = $\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$，
∴∠DOE = ∠AOD - ∠AOE = $30^{\circ}$.
又
∵正十二边形的中心角为$\frac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ}$，
∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边.