《2025年全优课堂九年级数学下册冀教版河北专版》

23. 应用意识 某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年的增长率都是x，写出利润y与增长率x之间的函数表达式，它是二次函数吗？如果是，请写出二次项系数、一次项系数和常数项.

答案： 解：依题意得$y = a(1 + x)^2 = ax^2 + 2ax + a$，是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$2a$，常数项为$a$.

24. 电焊工把8 m长的钢筋焊成了一个如图所示的框架，其下部为矩形，上部为半圆形.请你写出钢筋所焊成框架的面积y(m²)与半圆的半径x(m)之间的函数表达式.

答案： 解：半圆面积为$\frac{1}{2}\pi x^2$，矩形面积为$2x\cdot[\frac{1}{2}(8 - 2x - \pi x)] = 8x - (2 + \pi)x^2$，故$y=\frac{1}{2}\pi x^2 + 8x - (2 + \pi)x^2$，即函数表达式为$y=-(\frac{1}{2}\pi + 2)x^2 + 8x$.

25. 模型观念 某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系：m = 162 - 3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.

答案： 解：由题意得每件商品的销售利润为$(x - 30)$元，那么$m$件的销售利润为$y = m(x - 30)$.又$\because m = 162 - 3x$，$\therefore y=(162 - 3x)(x - 30)$，即$y = - 3x^2 + 252x - 4860$，$\because x - 30\geq 0$，$\therefore x\geq 30$.又$\because m\geq 0$，$\therefore 162 - 3x\geq 0$，即$x\leq 54$，$\therefore 30\leq x\leq 54$，$\therefore$所求关系式为$y = - 3x^2 + 252x - 4860(30\leq x\leq 54)$.

26. 动点问题 如图，在矩形ABCD中，AB = 6 cm，BC = 12 cm.点P在线段AB上，从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动.点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1 cm/s的速度向点C移动.如果P,Q同时分别从A,E两点出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S之间的函数表达式，并指出t的取值范围.

答案： 解：$\because PB = 6 - t$，$BQ = BE + EQ = 6 + t$，$\therefore S=\frac{1}{2}PB\cdot BQ=\frac{1}{2}(6 - t)(6 + t)=-\frac{1}{2}t^2 + 18$，当点$P$，$Q$分别到达$B$，$C$点时，不再有$\triangle BPQ$存在，此时$t = 6$，$\therefore S=-\frac{1}{2}t^2 + 18(0\leq t＜6)$.

27. 建立函数模型法应用意识 杭州第19届亚运会是继1990年北京亚运会、2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.某亚运会特许零售店以每件20元的价格购进一种亚运会商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间满足一次函数关系，其图像如图所示.设该亚运会特许零售店销售这种商品每天获利w(元).
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)求w与x之间的函数解析式.

答案： 解：
(1)设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b(k\neq 0)$，将$(25,70)$，$(35,50)$代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}25k + b = 70\\35k + b = 50\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = - 2\\b = 120\end{cases}$，$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y = - 2x + 120$；
(2)根据题意，得$w=(x - 20)y=(x - 20)\cdot(-2x + 120)$，即$w = - 2x^2 + 160x - 2400$.