《2025年全优课堂九年级数学下册冀教版河北专版》

19. 已知抛物线y=ax²经过点(1,3).
(1)求a的值；
(2)当x=3时，求y的值；
(3)说出此二次函数的三条性质.

答案： 解：
(1)$\because$抛物线$y = ax^{2}$经过点$(1,3)$，$\therefore a\times1 = 3$，$\therefore a = 3$；
(2)由
(1)得$y = 3x^{2}$，把$x = 3$代入$y = 3x^{2}$，得$y = 3\times3^{2}=27$；
(3)图像的开口向上；坐标原点是图像的顶点；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；图像有最低点，当$x = 0$时，$y$取得最小值，是0等.(写出三条即可)

20. 推理能力 如图，已知直线l过A(4,0)，B(0,4)两点，它与二次函数y=ax²的图像在第一象限内相交于点P.若△AOP的面积为$\frac{9}{2}$，求a的值.

答案： 解：设点$P(x,y)$，直线$AB$的解析式为$y = kx + b$，将$(4,0)$，$(0,4)$分别代入$y = kx + b$，得$\begin{cases}4k + b = 0\\b = 4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = 4\end{cases}$，故$y = -x + 4$，$\because\triangle AOP$的面积为$\frac{9}{2}=\frac{1}{2}\times4\times y$，$\therefore y = \frac{9}{4}$，再把$y = \frac{9}{4}$代入$y = -x + 4$，得$x = \frac{7}{4}$，$\therefore P(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$，把$(\frac{7}{4},\frac{9}{4})$代入到$y = ax^{2}$中，得$a = \frac{36}{49}$.

21. 根据条件，求下列各题中m的取值或取值范围.
(1)函数y=(2m−1)x²有最小值；
(2)函数y=(m−2)x²，当x＜0时，y随着x的增大而增大；
(3)函数y=(m+1)x²与y=2x²的图像形状相同；
(4)函数$y=mx^(m²+m)$的图像是开口向下的抛物线.

答案： 解：
(1)$\because$函数$y = (2m - 1)x^{2}$有最小值，$\therefore 2m - 1＞0$，$\therefore m＞\frac{1}{2}$；
(2)$\because$当$x＜0$时，函数$y = (m - 2)x^{2}$中，$y$随着$x$的增大而增大，$\therefore m - 2＜0$，$\therefore m＜2$；
(3)$\because$函数$y = (m + 1)x^{2}$与$y = 2x^{2}$的图像形状相同，$\therefore|m + 1| = 2$，$\therefore m = 1$或$m = -3$；
(4)$\because$函数$y = mx^{m^{2}+m}$的图像是开口向下的抛物线，$\therefore m^{2}+m = 2$且$m＜0$，$\therefore m = -2$.

22. 建立函数模型法应用意识 当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量.汽车的撞击影响I可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据：

(1)请根据上表中的数据，在所给的平面直角坐标系中描出坐标(v,I)所对应的点，并用光滑的曲线将各点连接起来；
(2)根据下表中数据呈现的规律，请你直接写出用v表示I的函数关系式：____________；

(3)当汽车的速度分别是1.5 km/min，4.5 km/min时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少?

答案：
解：
(1)如图：

(2)$I = 2v^{2}$ 提示：$\frac{v^{2}}{I}=\frac{1}{2}$，即$I = 2v^{2}$；
(3)$v = 1.5$时，$I = 2v^{2}=2\times1.5^{2}=2\times2.25 = 4.5$，$v = 4.5$时，$I = 2v^{2}=2\times4.5^{2}=2\times20.25 = 40.5$.
答：当汽车的速度分别是$1.5\ km/min$，$4.5\ km/min$时，撞击影响分别是$4.5$，$40.5$.