《2025年全优课堂九年级数学下册冀教版河北专版》

1. 习题变式教材P52，AT1改编 下列二次函数的图像与x轴只有一个交点的是 ( )
A. y=x²+2x-1
B. y=-2x²+7x-7
C. y=4x²-12x+9
D. y=x²-4x+16

答案： C

2. 习题变式教材P53，AT2改编 二次函数y=kx²-6x+3的图像与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A. k＜3
B. k＜3且k≠0
C. k≤3
D. k≤3且k≠0

答案： D

3. 习题衍生教材P53，AT1改编 若二次函数y=ax²-4x+a的图像与x轴有两个交点，其中a为非负整数，则a=__________.

答案： 1

4. 习题变式教材P57，BT1改编 已知二次函数y=x²-2mx+m²+3.(m是常数)
(1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
(2)把该函数的图像沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图像与x轴只有一个公共点?

答案： 解：
(1)证明：
∵$b^{2}-4ac=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}+3)=4m^{2}-4m^{2}-12=-12＜0$，
∴ 方程$x^{2}-2mx+m^{2}+3=0$没有实数解，即不论m为何值，该函数的图像与x轴没有公共点；
(2)$y=x^{2}-2mx+m^{2}+3=(x - m)^{2}+3$，把函数$y=(x - m)^{2}+3$的图像沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数$y=(x - m)^{2}$的图像，它的顶点坐标是$(m,0)$，这个函数的图像与x轴只有一个公共点.

5. 例题变式教材P51，例改编 二次函数y=-x²+2x+m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程-x²+2x+m=0的解为 ( )

A. -1，0
B. -1，1
C. 1，3
D. -1，3

答案： D

6. 习题变式教材P52，AT1改编 函数y=ax²+bx+c的图像如图所示，关于x的一元二次方程ax²+bx+c-4=0的根的情况是 ( )
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根
D. 有两个异号的实数根

答案： A

7. 例题变式教材P51，例改编 二次函数y=x²+bx+c的图像如图所示，关于x的方程x²+bx+c=0的解是__________.

答案： $x_{1}=-3,x_{2}=1$

8. 习题衍生教材P52，AT1改编 已知关于x的一元二次方程x²-(k+5)x+3k+6=0.
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程有一个根大于-3且小于-1，k为整数，求k的值.

答案： 解：
(1)证明：
∵$x^{2}-(k + 5)x+3k + 6=0$，
∴$\Delta=[-(k + 5)]^{2}-4×1×(3k + 6)=(k - 1)^{2}\geq0$，
∴ 此方程总有两个实数根；
(2)
∵$x^{2}-(k + 5)x+3k + 6=0$，
∴$(x - 3)[x-(k + 2)]=0$，
∴$x_{1}=3,x_{2}=k + 2$，
∵ 此方程有一个根大于 - 3且小于 - 1，
∴$\begin{cases}k + 2＞-3\\k + 2＜-1\end{cases}$，解得 - 5＜k＜-3，
∵k为整数，
∴k=-4.