《2025年全优课堂九年级数学下册冀教版河北专版》

1. 如图，AB是⊙O的直径，AB = 2，点C在⊙O上，∠CAB = 30°，D为BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC + PD的最小值为 ______.
　　

答案：
$\sqrt{2}$ 提示：如图，作 D 关于 AB 的对称点 D'，连接 OC，OD'，CD'，AD'，AD.
∵ 点 C 在 ⊙O 上，∠CAB = 30°，D 为 $\overset{\frown}{BC}$ 的中点，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠CAB = 15°，
又
∵$\overset{\frown}{BD}$ = $\overset{\frown}{BD'}$，
∴∠BAD' = ∠BAD = 15°，
∴∠CAD' = 30° + 15° = 45°，
∴∠COD' = 2∠CAD' = 90°，△COD' 是等腰直角三角形.
∵OC = OD' = $\frac{1}{2}$AB = 1，
∴CD' = $\sqrt{1^{2}+1^{2}}$ = $\sqrt{2}$ ，
∴ 当点 P 为 CD' 与 AB 的交点时，PC + PD 有最小值，最小值为 $\sqrt{2}$.

2. 较难题 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，BC = 4√2，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为 ______.

答案：
$2\sqrt{5}-2$ 提示：连接 AE，如图 1，
∵∠BAC = 90°，AB = AC，BC = $4\sqrt{2}$ ，
∴AB = AC = 4，
∵AD 为直径，
∴∠AED = 90°，
∴∠AEB = 90°，
∴ 点 E 在以 AB 为直径的 ⊙O 上（如图 2），
∵⊙O 的半径为 $\frac{1}{2}$AB = 2，
∴ 当点 O，E，C 共线时，
CE 最小，如图 2，在 Rt△AOC 中，
∵OA = 2，AC = 4，
∴OC = $\sqrt{OA^{2}+AC^{2}}$ = $2\sqrt{5}$ ，
∴CE = OC - OE = $2\sqrt{5}-2$，
即线段 CE 长度的最小值为 $2\sqrt{5}-2$.

3. 如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB = 8，∠CBA = 30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F，则线段EF的最小值为 ______.
　

答案：
$4\sqrt{3}$ 提示：如图，连接 CD，
∵ 点 E 与点 D 关于 AC 对称，
∴CE = CD，
∴∠CED = ∠CDE，
∵∠EFD + ∠CED = 90°，
∠CDF + ∠CDE = 90°，
∴∠F = ∠CDF，
∴CE = CD = CF，
∴EF = 2CD，当 CD ⊥ AB 时，CD 取得最小值，
∵AB 是半圆的直径，
∴∠ACB = 90°.
∵AB = 8，∠CBA = 30°，
∴AC = 4，BC = $\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{8^{2}-4^{2}}$ = $4\sqrt{3}$.
∵CD ⊥ AB，∠CBA = 30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = $2\sqrt{3}$ ，
∴ 线段 EF 的最小值为 2CD = $4\sqrt{3}$.

4. 数形结合思想 如图，已知线段AB = 4，C为线段AB上的一个动点(不与点A，B重合)，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，⊙O外接于三角形CDE，则⊙O半径的最小值为 __________.

答案：
$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 提示：如图，分别作 ∠DAC 与 ∠EBC 的平分线，交点为 P，
∵△ACD 和 △BCE 都是等边三角形，
∴AP 与 BP 分别为 CD，CE 的垂直平分线，
又
∵ 圆心 O 在 CD，CE 垂直平分线上，
∴ 交点 P 与圆心 O 重合，即圆心 O 是一个定点，连接 OC，若半径 OC 最短，则 OC ⊥ AB，
又
∵∠OAC = ∠OBC = 30°，AB = 4，
∴OA = OB，
∴AC = BC = 2，
∴ 在 Rt△AOC 中，AO = 2OC，
∵OA² = AC² + OC²，
∴(2OC)² = 2² + OC²，解得 OC = $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

5. 几何直观 如图，AB是⊙O的一条弦，C是⊙O上一动点且∠ACB = 45°，E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于点G，H.若⊙O的半径为2.求GE + FH的最大值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：如图，连接 OA，OB，
∵∠ACB = 45°，
∴∠AOB = 2∠ACB = 90°，
∵OA = OB，
∴△AOB 是等腰直角三角形，
∴AB = $2\sqrt{2}$ ，
∵ 点 E，F 分别为 AC，BC 的中点，
∴EF = $\frac{1}{2}$AB = $\sqrt{2}$ ，
∴ 当 GH 为 ⊙O 的直径时，GE + FH 有最大值，
此时 GE + FH = GH - EF = 4 - $\sqrt{2}$.

6. 如图，已知直线y = x + 4与两坐标轴分别交于A，B两点，⊙C的圆心坐标为(2，0)，半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，求△ABE面积的最小值和最大值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解：y = x + 4，
∵ 当 x = 0 时，y = 4，当 y = 0 时，x = -4，
∴OA = 4，OB = 4，
∵△ABE 的边 BE 上的高是 OA，
∴△ABE 的边 BE 上的高是 4，
∴ 要使 △ABE 的面积最大或最小，只要 BE 取最大值或最小值即可，过点 A 作 ⊙C 的两条切线，如图，当切线为 AD 时，BE 最小，即 △ABE 的面积最小；当切线为 AD' 时，BE' 最大，即 △ABE' 的面积最大；
∵x 轴 ⊥ y 轴，OC 为半径，
∴EE' 是 ⊙C 切线，
∵AD' 是 ⊙C 切线，
∴OE' = E'D'，设 E'O = E'D' = x，
∵AC = 4 + 2 = 6，CD' = 2，AD' 是切线，
∴∠AD'C = 90°，由勾股定理得
AD' = $4\sqrt{2}$ ，则 AE' = $4\sqrt{2}-x$，
在 Rt△AOE' 中，AE'² = AO² + OE'²，
即 ($4\sqrt{2}-x$)² = 4² + x²，解得 x = $\sqrt{2}$ ，
∴BE' = 4 + $\sqrt{2}$ ，BE = 4 - $\sqrt{2}$ ，
∴ △ABE 面积的最小值是 $\frac{1}{2}$×(4 - $\sqrt{2}$)×4 = 8 - $2\sqrt{2}$ ，最大值是 $\frac{1}{2}$×(4 + $\sqrt{2}$)×4 = 8 + $2\sqrt{2}$.