《2025年全优课堂九年级数学下册冀教版河北专版》

1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，BD 是角平分线，以点 D 为圆心，DA 为半径的⊙D 与 AC 相交于点 E。
　(1)求证：BC 是⊙D 的切线；
　(2)若 AB = 5，BC = 13，求 CE 的长。
　　　　　　

答案：
解：
(1)证明：如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵∠BAD = 90°，BD平分∠ABC，
∴AD = DF.
∴DF是⊙D的半径，
∴BC是⊙D的切线；
(2)易知△ABD≌△FBD，
∴AB = FB.
∵AB = 5，BC = 13，
∴CF = BC - BF = BC - AB = 8，AC = $\sqrt{BC^{2}-AB^{2}}$ = 12.在Rt△DFC中，设DF = DE = r，则$r^{2}+64=(12 - r)^{2}$，解得$r=\frac{10}{3}$，
∴$CE = 12 - 2\times\frac{10}{3}=\frac{16}{3}$.

2. 推理能力 如图，O 为正方形 ABCD 对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与 BC 相切于点 E。
　(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
　(2)若正方形 ABCD 的边长为 10，求⊙O 的半径。
　　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)证明：如图，连接OE，并过点O作OF⊥CD.
∵BC切⊙O于点E，
∴OE⊥BC，OE = OA，又
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB = ∠ACD，
∴△OEC≌△OFC.
∴OF = OE，
∴OF = OA，即OF为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)
∵正方形ABCD的边长为10，AC为对角线，
∴AB = BC = 10，∠B = 90°，∠ACB = 45°，
∴$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 10\sqrt{2}$，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC = 90°，
∴∠EOC = 45°，
∴OE = EC，设OA = r，则OE = EC = r，
∴$OC=\sqrt{OE^{2}+EC^{2}}=\sqrt{2}r$，
∵OA + OC = AC，
∴$r+\sqrt{2}r = 10\sqrt{2}$，解得$r = 20 - 10\sqrt{2}$.
∴⊙O的半径为$20 - 10\sqrt{2}$.

3. 几何直观 如图，已知 P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点 C，OC = CP = 2，弦 AB⊥OC，∠AOC 的度数为 60°，连接 BC，PB。
　　　　　　　(1)求 BC 的长；
　　　　　　　(2)求证：PB 是⊙O 的切线。
　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解：
(1)在题图中连接OB.
∵AB⊥OC，∠AOC = 60°，
∴∠OAB = 30°，
∵OB = OA，
∴∠OBA = ∠OAB = 30°，
∴∠AOB = 120°，
∴∠BOC = 60°，
∵OB = OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴BC = OC.
∵OC = 2，
∴BC = 2；
(2)证明：由
(1)知，∠COB = 60°，BC = OC，∠BCO = 60°.
∵OC = CP，
∴BC = PC，
∴∠P = ∠CBP.
∵∠OCB = 60°，
∴∠CBP = 30°，
∴∠OBP = 90°，即OB⊥PB.
∵OB是半径，
∴PB是⊙O的切线.

4. 如图，AB 是⊙O 直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 F 在 CD 上，且 AF = DF，连接 AD，BC。
　　　　　　　(1)求证：∠FAD = ∠B；
　　　　　　　(2)延长 FA 到 P，使 FP = FC，作直线 CP。如果 AF//BC，求证：直线 PC 为⊙O 的切线。
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明：
(1)
∵AF = DF，
∴∠FAD = ∠FDA，
∵∠FDA = ∠B，
∴∠FAD = ∠B；
(2)在题图中连接OC，
∵AF//BC，
∴∠FAB = ∠B，
∴∠FAB = ∠FAD = ∠FDA，
∵∠AED = 90°，
∴∠FAB = ∠FAD = ∠FDA = 30°，
∴∠CFP = 60°，
∵FP = FC，
∴△CFP是等边三角形，
∴∠PCF = 60°，
∵OB = OC，
∴∠B = ∠OCB = 30°，
∴易知∠OCD = 30°，
∴∠PCO = 60°+30° = 90°，即OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线.