《2025年全优课堂九年级数学下册冀教版河北专版》

18. 如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，求∠BAD的度数.

答案： 解：
∵正五边形ABCDE的内角和为$(5 - 2)\times180^{\circ}=540^{\circ}$，
∴∠E = $\frac{1}{5}\times540^{\circ}=108^{\circ}$，∠BAE = $108^{\circ}$，又
∵EA = ED，
∴∠EAD = $\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-108^{\circ})=36^{\circ}$，
∴∠BAD = ∠BAE - ∠EAD = $72^{\circ}$.

19. 几何直观 如图，已知等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5$\sqrt{2}$ cm，求⊙O的半径R.

答案：
解：如图，连接OB，OC，OD，
∵等边三角形ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC = $\frac{1}{3}\times360^{\circ}=120^{\circ}$，∠BOD = $\frac{1}{12}\times360^{\circ}=30^{\circ}$，
∴∠COD = ∠BOC - ∠BOD = $90^{\circ}$，
∵OC = OD，
∴∠OCD = $45^{\circ}$，
∴OC = CD·$\cos45^{\circ}=5\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=5$(cm)，即⊙O的半径R为5 cm.

20. 归纳法 如图，图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC、正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…….点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动.
(1)图1中∠APN的度数是 ______，图2中，∠APN的度数是 ______，图3中∠APN的度数是 ____；
(2)试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系.(直接写答案)
　 

答案： 解：
(1)$60^{\circ}$ $90^{\circ}$ $108^{\circ}$
提示：在题图1中，
∵点M，N分别从点B，C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM = ∠CBN，
∴∠APN = ∠ABN + ∠BAM = ∠ABN + ∠CBN = ∠ABC = $60^{\circ}$；
同理可得在题图2中，∠APN = $90^{\circ}$；
在题图3中，∠APN = $108^{\circ}$；
(2)由
(1)可知，∠APN = 所在正多边形的内角度数，故在题图n中，∠APN = $\frac{(n - 2)\times180^{\circ}}{n}$.

21. 数学文化几何直观 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理.如图，已知$\widehat{AB}$，C是弦AB上一点.
(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)；
①作线段AC的垂直平分线DE，交$\widehat{AB}$于点D，交弦AB于点E；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交$\widehat{AB}$于点F(F，A两点不重合)，连接BF；
(2)引理的结论为BC=BF，请你证明.
　　　　　　　　　　　

答案：
解：
(1)如图；

(2)证明：如图，连接DA，DC，DF，DB，
∵DE为AC的垂直平分线，
∴DA = DC，
∴∠DAC = ∠DCA，
∵四边形ABFD为圆的内接四边形，
∴∠DAC + ∠DFB = $180^{\circ}$，
∵∠DCA + ∠DCB = $180^{\circ}$，
∴∠DCB = ∠DFB，
∵AD = FD，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{DF}$，
∴∠ABD = ∠DBF，
∵BD = BD，
∴△BCD≌△BFD(AAS)，
∴BC = BF.