《2025年高中物理补充习题必修第三册》

9. 如图所示，水平面上有一带电荷量为Q的均匀带电圆环，圆心为O，其中央轴线上距离O点为d的位置处有一带电荷量为q的点电荷.若点电荷受到的静电力为F，则F______（选填“＞”“＜”或“=”）$k\frac{qQ}{d^2}$（k为静电力常量）.静电力常量k的单位为___________（用“SI单位制”中的基本单位表示，电荷量的单位可为A·s）.

答案： ＜ $ \text{kg}\cdot\text{m}^{3}\cdot\text{s}^{-4}\cdot\text{A}^{-2} $
解析：把均匀带电圆环平均分成 $ N $ 小段（$ N $ 足够大），每一小段都可以看成点电荷，则每一小段所带电荷量为 $ q'=\frac{Q}{N} $。设每一点电荷 $ q' $ 与点电荷 $ q $ 之间的连线和带电圆环中央轴线之间的夹角为 $ \theta $，由库仑定律知，$ q' $ 对点电荷 $ q $ 的库仑力大小为 $ F' = k\frac{qq'}{(\frac{d}{\cos\theta})^{2}} $。根据对称性，点电荷 $ q $ 受到的总库仑力大小为 $ F = NF_{\perp}=NF'\cos\theta $，联立得 $ F = k\frac{qQ}{d^{2}}\cdot\cos^{3}\theta $。由于 $ \cos\theta ＜ 1 $，所以 $ F ＜ k\frac{qQ}{d^{2}} $。由库仑定律 $ F = k\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}} $，可得 $ k = \frac{Fr^{2}}{q_{1}q_{2}} $，用“SI 单位制”中的基本单位表示力 $ F $ 的单位是 $ \text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2} $，距离 $ r $ 的单位为 $ \text{m} $，电荷量的单位为 $ \text{A}\cdot\text{s} $，所以静电力常量 $ k $ 的单位为 $ \frac{\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}\cdot\text{m}^{2}}{\text{A}^{2}\cdot\text{s}^{2}}=\text{kg}\cdot\text{m}^{3}\cdot\text{s}^{-4}\cdot\text{A}^{-2} $。

10. 两根光滑绝缘棒在同一竖直平面内，两棒与水平面间均成45°角，棒上各穿有一个质量为m、带电荷量为Q的相同小球，如图所示.若让两球同时从同一高度由静止开始下滑，则当两球相距多远时，小球的速度达到最大值？

答案： 小球在三个力作用下先做加速度减小的变加速运动，当 $ a = 0 $ 时，速度达到最大。此时，$ F_{库}=mg\tan45^{\circ} $ ①，由库仑定律得 $ F_{库}=k\frac{Q^{2}}{r^{2}} $ ②。由①②得 $ r = Q\sqrt{\frac{k}{mg}} $。

11. 如图所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一带电荷量为+Q的点电荷.质量为m、带电荷量为+q的带电小球在圆形绝缘管壁中做圆周运动.当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，则当小球运动到最低点时对管壁的作用力多大？

答案： 设小球在最高点时的速度为 $ v_{1} $，根据牛顿第二定律得 $ mg - \frac{kQq}{R^{2}} = m\frac{v_{1}^{2}}{R} $ ①。设小球在最低点时的速度为 $ v_{2} $，管壁对小球的作用力为 $ F $，根据牛顿第二定律得 $ F - mg - \frac{kQq}{R^{2}} = m\frac{v_{2}^{2}}{R} $ ②。小球从最高点运动到最低点的过程中只有重力做功，故机械能守恒，则 $ \frac{1}{2}mv_{1}^{2}+mg\cdot2R = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} $ ③。由①②③得 $ F = 6mg $。由牛顿第三定律得小球运动到最低点时对管壁的作用力大小 $ F' = 6mg $。

12. 如图所示，在倾角为$\alpha$的足够长光滑斜面上放置两个质量分别为2m和m的带电小球A和B（均可视为质点），它们相距为L.两球同时由静止开始释放时，B球的加速度恰好等于零.经过一段时间后，当两球距离为$L'$时，A、B的加速度大小之比为$a_1:a_2 = 11:5$.静电力常量为k.
（1）若B球带正电荷且电荷量为q，求A球所带电荷量Q及电性.
（2）在（1）条件下，求$L'$与L的比值.

答案：
(1) 由初始 $ B $ 球的加速度等于零及 $ B $ 球带正电荷，可知 $ A $ 球带正电荷。对 $ B $ 球受力分析，沿斜面方向 $ B $ 球受到的合力为零，即 $ F - mg\sin\alpha = 0 $，根据库仑定律得 $ F = k\frac{Qq}{L^{2}} $，解得 $ Q = \frac{mgL^{2}\sin\alpha}{kq} $。
(2) 两球距离为 $ L' $ 时，$ A $ 球的加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律得 $ F'+2mg\sin\alpha = 2ma_{1} $。$ B $ 球的加速度方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律得 $ mg\sin\alpha - F' = ma_{2} $，依题意 $ a_{1}:a_{2}=11:5 $，解得 $ F' = \frac{4}{9}mg\sin\alpha $。又 $ F' = k\frac{Qq}{L'^{2}} $，解得 $ \frac{L'}{L}=\frac{3}{2} $。