《2025年高中物理补充习题必修第三册》

9. 已知把q = 1.0×10⁻⁸ C的电荷从无限远处移到电场中的A点，需要克服静电力做功W = 1.2×10⁻⁴ J，问：
（1）q在A点的电势能和A点的电势各是多少？
（2）q未移入电场前，A点的电势是多少？

答案： （1）静电力做负功，电势能增加，无限远处的电势为零，电荷在无限远处的电势能也为零，即$\varphi_{\infty}=0$，$E_{p\infty}=0$.由$W_{\infty A}=E_{p\infty}-E_{pA}$得$E_{pA}=E_{p\infty}-W_{\infty A}=0-(-1.2\times10^{-4}\text{ J}) = 1.2\times10^{-4}\text{ J}$.再由$\varphi_{A}=\frac{E_{pA}}{q}$得$\varphi_{A}=1.2\times10^{4}\text{ V}$.
（2）$A$点的电势是由电场本身决定的，跟$A$点是否有电荷存在无关，所以$q$未移入电场前，$A$点的电势仍为$1.2\times10^{4}\text{ V}$.

10. 如图所示的匀强电场中，有A、B、C三点，AB = 5 cm，BC = 12 cm，其中AB沿电场方向，BC和电场方向的夹角为60°.一个电荷量q = 4×10⁻⁸ C的正电荷从A点移到B点，静电力做功W₁ = 1.2×10⁻⁷ J.
（1）求匀强电场的电场强度E的大小.
（2）该电荷从B点移到C点，电荷的电势能改变了多少？

答案： （1）由$W_{1}=qEAB$得，该电场的电场强度大小$E = \frac{W_{1}}{qAB}=\frac{1.2\times10^{-7}}{4\times10^{-8}\times5\times10^{-2}}\text{ N/C}=60\text{ N/C}$.
（2）该电荷从$B$点移到$C$点，静电力做功$W_{2}=FBC\cos60^{\circ}=qEBC\cos60^{\circ}=4\times10^{-8}\times60\times12\times10^{-2}\times0.5\text{ J}=1.44\times10^{-7}\text{ J}$，所以该过程电荷的电势能减少了$1.44\times10^{-7}\text{ J}$.

11. 如图所示，在场强为E的水平匀强电场中，一根长为l的绝缘杆两端分别固定着带电荷量为+q和-q的小球（大小不计）.若让绝缘杆绕两球连线中点O逆时针转动α角，求转动中带电小球克服电场力所做的功.

答案： 每个带电小球的初、末位置沿电场线方向的距离均为$d=\frac{l}{2}(1 - \cos\alpha)$，每个带电小球克服电场力做功$W = Fd = qE\frac{l}{2}(1 - \cos\alpha)$，故两个带电小球克服电场力做功$W' = 2W = qEl(1 - \cos\alpha)$.

12. 如图所示，一质量为M的塑料球形容器放在桌面上，它的内部有劲度系数为k的轻弹簧直立固定于容器的内壁底部，弹簧上端经绝缘细线系住一只带电荷量为q（q＞0）、质量为m的小球.从加上一个向上的、场强为E的匀强电场起，到容器对桌面压力减为零为止，小球的电势能改变了多少？

答案： 未加匀强电场时，小球受重力$G$、弹力而平衡.设弹簧此时压缩量为$x$，则$mg = kx$ ①.加匀强电场后，当塑料容器对桌面压力为零时，容器受向下的重力$Mg$，向上的弹簧拉力而平衡.设此时弹簧伸长量为$x'$，则$Mg = kx'$ ②，此过程中小球上升的高度$h = x + x'$ ③.由于电场力做正功，所以小球电势能的减少量$\Delta E_{p}=qEh$.由①②③得$\Delta E_{p}=qE(\frac{mg}{k}+\frac{Mg}{k})=\frac{(m + M)qEg}{k}$.