《2025年高中物理补充习题必修第三册》

13. 如图所示的直角坐标系中，第Ⅰ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，一个质量为m、带电荷量为q的粒子从y轴上的A（0，L）点以水平初速度$v_{0}$进入第Ⅰ象限，粒子所受重力忽略不计，之后从x轴上的B点沿与x轴正方向成$\theta = 60^{\circ}$进入第Ⅳ象限.
（1）求第Ⅰ象限内电场强度E的大小.
（2）在y轴负半轴上的C点固定有一点电荷（不考虑点电荷形成的电场与第Ⅰ象限电场的相互影响），粒子恰好在第Ⅳ象限做匀速圆周运动，已知静电力常量为k，求点电荷的电荷量Q的大小.

答案： （1）从A点到B点，根据动能定理得$qEL=\frac{1}{2}m(\frac{v_{0}}{\cos 60^{\circ}})^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，解得$E=\frac{3mv_{0}^{2}}{2qL}$.
（2）根据牛顿第二定律得$k\frac{qQ}{r^{2}} = m\frac{(\frac{v_{0}}{\cos 60^{\circ}})^{2}}{r}$，根据几何关系得$x_{OB}=r\sin 60^{\circ}$，根据平抛运动的推论得$\tan 60^{\circ}=\frac{L}{\frac{x_{OB}}{2}}$，联立解得$Q=\frac{16mv_{0}^{2}L}{3kq}$.

14. 如图所示，在竖直平面内有两平行金属板P、Q正对着并水平放置，两板间有竖直方向的匀强电场，板长为L、板间距离为2L，其中，Q板接地.质量为m、带电荷量为q（q＞0）的带电小球自O点以某一速度平抛，O点与两板中心轴线在同一竖直平面内，小球恰从P板左端射入电场，其中O点离P板竖直距离为$\frac{L}{2}$，离P板左端水平距离为L，重力加速度为g.
（1）求小球从O点平抛的初速度大小.
（2）若小球恰好从Q板右端飞出电场，求板间的电场强度大小及方向.

答案： （1）设平抛的初速度为$v_{0}$，根据平抛运动规律可得$L = v_{0}t$，$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}gt^{2}$，解得$v_{0}=\sqrt{gL}$.
（2）进入电场时在竖直方向上的速度大小$v_{y}=\sqrt{2g\cdot\frac{L}{2}}=\sqrt{gL}$，以竖直向下为正方向，加速度为a，则$2L = v_{y}t_{1}+\frac{1}{2}at_{1}^{2}$，其中$t_{1}=\frac{L}{v_{0}}$，解得$a = 2g$，由此可知小球的加速度方向竖直向下，且$qE + mg = ma$，解得$E=\frac{mg}{q}$，小球带正电，则电场方向竖直向下.