《2025年高中物理补充习题必修第三册》

10. 如图所示，半径为$R$的绝缘圆环上带有电荷量为$Q$的正电荷，电荷在环上均匀分布.若在环的顶部切去宽为$d$的一小段，$d$远小于$2\pi R$，求圆环剩余部分的电荷在环心处所产生的场强$E$.

答案： 由于圆环均匀带电，原来每条直径两端相等长度的电荷在环心处产生的场强互相抵消。若在环顶部切去一小段后，其他直径两端电荷对环心的场强互相抵消，剩下的就是与缺口相对的长度也为$d$的一小段圆环上电荷产生的场强$E$。长度为$d$的一小段圆环上的电荷量为$q = \frac{Q}{2\pi R}d$，由于$d\ll2\pi R$，可以把它看作点电荷，根据$E = k\frac{q}{r^{2}}$得$E = k\frac{q}{R^{2}} = k\frac{\frac{Q}{2\pi R}d}{R^{2}} = \frac{kQd}{2\pi R^{3}}$，其方向由环心指向缺口中心。

11. 在场强为$E$、方向竖直向下的匀强电场中，有两个质量均为$m$的带电小球$A$和$B$，电荷量分别为$ + 2q$和$ - q$，两小球间用长为$l$的绝缘细线连接，并用绝缘细线悬挂在$O$点，如图所示.平衡时，细线对悬点$O$的作用力多大?

答案：
如果把两个小球和中间的细线作为一个整体(系统)，那么电荷间相互作用的库仑力$F_{C}$和$F_{C}'$，细线的拉力$F_{T2}$和$F_{T2}'$都是系统的内力，它们互相抵消，作用在系统上的外力仅为两球重力$2mg$，悬线拉力$F_{T1}$，电场力$F_{E}=qE$(如图)，于是由力的平衡条件可得$F_{T1}=2mg + F_{E}=2mg + qE$。

12. 如图所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为$1.0\times10^{- 2}\ kg$，所带电荷量为$ + 2.0\times10^{- 8}\ C$.若加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直线成$30^{\circ}$角，绳长$L = 0.2\ m$.$(g$取$10\ m/s^{2})$
(1) 求这个匀强电场的电场强度大小.
(2) 突然剪断轻绳，小球做什么运动?加速度的大小和方向如何?

答案：

(1) 受力分析如图，根据共点力平衡得$qE = mg\tan30^{\circ}$，解得$E = \frac{\sqrt{3}}{6}\times10^{7}\text{ N/C}$。
(2) 突然剪断轻绳，小球受重力和电场力，初速度为零，做匀加速直线运动。由$F_{合}=\frac{mg}{\cos30^{\circ}} = ma$，得$a = \frac{20\sqrt{3}}{3}\text{ m/s}^{2}$，加速度方向与绳子拉力方向相反。