《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册华师大版》

典例解析
例2 如图,由$y = x^{2}$的图象总结性质如下:

(1)抛物线$y = ax^{2}(a ＞ 0)$的对称轴是______，顶点是______.
(2)当$a ＞ 0$时,抛物线$y = ax^{2}$的开口向______. 在对称轴的左边,曲线自左向右______;在对称轴的右边,曲线自左向右______. 顶点是抛物线上的位置最低的点.
(3)图象的以上这些特点,反映了当$a ＞ 0$时,函数$y = ax^{2}$具有这样的性质:当$x ＞ 0$时,函数值随$x$______;当$x ＜ 0$时,函数值随$x$______;当$x = 0$时,函数$y = ax^{2}$取得最小值,最小值为______.
(4)当$|a|$越小时,抛物线的开口越大;当$|a|$越大时,抛物线的开口越小.

答案： 略

2. 根据例2所画的函数图象填空:
(1)$y = 3x^{2}$的对称轴为______，顶点坐标为______，开口方向为______.
(2)$y = \frac{1}{3}x^{2}$的对称轴为______，顶点坐标为______，开口方向为______.
(3)$y = 3x^{2}$与$y = \frac{1}{3}x^{2}$相比，______开口较大.

答案： 略

3. 已知点$A(1,y_{1}),B(-2,y_{2}),C(-\sqrt{2},y_{3})$在函数$y = \frac{1}{4}x^{2}$的图象上,则$y_{1},y_{2},y_{3}$的大小关系是______.

答案： $y_{1}＜y_{3}＜y_{2}$

4. 已知二次函数$y = x^{2}$,当$1\leqslant y\leqslant 9$时,自变量$x$的取值范围是______.

答案： $-3\leqslant x\leqslant - 1$或$1\leqslant x\leqslant 3$

5. 如图,在平面直角坐标系中,$O$为坐标原点,直线$y = -x + b$与$y$轴交于点$A$,与抛物线$y = ax^{2}$交于点$B,C$,且点$B$的坐标为$(2,2)$.

(1)求$a,b$的值;
(2)连结$OC,OB$,求$\triangle BOC$的面积.

答案： 解：
(1)把$B(2,2)$代入$y=-x + b$中，
得$2=-2 + b$，即$b = 4$；
把$B(2,2)$代入$y = ax^{2}$中，得$a=\frac{1}{2}$，
$\therefore a$的值是$\frac{1}{2}$，$b$的值是$4$.
(2)$\because b = 4$，$\therefore$点$A(0,4)$.
联立两函数表达式，成立方程组：$\begin{cases}y=-x + 4\\y=\frac{1}{2}x^{2}\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x = 2\\y = 2\end{cases}$或$\begin{cases}x=-4\\y = 8\end{cases}$，
$\therefore$点$C$的坐标为$(-4,8)$，
$\therefore S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}\times4\times6 = 12$.