《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册华师大版》

典例解析
例2　如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连结OC并延长交⊙O于点D. 若CD = 2，AB = 8，则⊙O的直径是(　　　)

A.2$\sqrt{5}$　　B.4$\sqrt{5}$　　C.5　　　D.10
分析:连结OA,根据垂径定理求出AC的长,再由勾股定理可得出OA的长.

答案： D

变式训练
3. 如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB于点E. 若AB = 10 cm，CD = 8 cm，则BE的长为(　　　)

A.5 cm　　　　　
　B.3 cm
C.2 cm　　　　　
　D.1.5 cm

答案： C

4. 如图，在⊙O中，半径OC的长为r cm，弦AB与OC垂直，将⊙O沿AB折叠，$\overset{\frown}{AB}$恰好经过OC的中点D. 若弦AB的长为4$\sqrt{15}$ cm，则r = ________cm.

答案： 8

典例解析
例3　如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交$\overset{\frown}{BC}$于点D，已知BC = 8，ED = 2.
(1)求⊙O的半径；
(2)求AC的长.

答案： 略

变式训练
5. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E. 若OE = 3，OB = 5，则CD的长为(　　　)

A.9.6　
　B.4$\sqrt{5}$　
　C.5$\sqrt{3}$　
　D.19

答案： A

典例解析
例4　如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD//AB，AB = 26 m，OE⊥CD于点E. 水位正常时测得OE : CD = 5 : 24.
(1)求CD的长；
(2)现汛期来临，水面以4 m/h的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚好被灌满?

分析:(1)在Rt△EOD中，利用勾股定理求得ED的长，2ED即为弦CD的长；
(2)延长OE交⊙O于点F，求得EF的长，然后求经过的时间.

答案： 解：
(1)
∵ 直径$AB = 26\ m$，
$\therefore OD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times26 = 13(m)$。
$\because OE\perp CD$，$\therefore DE=\frac{1}{2}CD$。
$\because OE:CD = 5:24$，$\therefore OE:ED = 5:12$。
设$OE = 5x$，$ED = 12x$，$\therefore$ 在$Rt\triangle ODE$中，$(5x)^{2}+(12x)^{2}=13^{2}$，解得$x = 1$，$\therefore CD = 2DE = 2\times12 = 24(m)$。
(2)由
(1)得$OE = 5\ m$，延长$OE$交$\odot O$于点$F$，
$\therefore EF = OF - OE = 13 - 5 = 8(m)$，
$\therefore\frac{8}{4}=2(h)$，即经过$2\ h$桥洞会刚好被灌满。