《2025年新课程实践与探究丛书九年级数学下册华师大版》

5.如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,⊙P与x轴相切于点C,与y轴相交于点A(0,8),B(0,2).连结AC,BC.

(1)求点P的坐标;
(2)求cos∠ACB的值.

答案：
解：
(1)如图，连结PC，PB，过点P作PD⊥AB于点D，则BD = $\frac{1}{2}$AB，
∵点A(0,8)，B(0,2)，
∴BD = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$(OA - OB) = 3，OD = OB + BD = 5.

∵⊙P与x轴相切于点C，
∴PC = PB，∠PCO = 90°.
∵∠COD = ∠PDO = 90°，
∴四边形OCPD是矩形，
∴PC = OD = 5，
∴PB = 5.
在Rt△PDB中，PD = $\sqrt{PB^{2}-BD^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4，
∴点P的坐标为(4,5).
(2)由
(1)知，PA = PB，PD⊥AB，
∴∠DPB = $\frac{1}{2}$∠APB.
∵∠ACB = $\frac{1}{2}$∠APB，
∴∠ACB = ∠DPB.
在Rt△DPB中，cos∠DPB = $\frac{PD}{PB}$ = $\frac{4}{5}$，
∴cos∠ACB = $\frac{4}{5}$.

典例解析
例1　如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB//CD，OB = 6 cm，OC = 8 cm. 求：
(1)∠BOC的度数；
(2)BE + CG的长；
(3)⊙O的半径.

分析：(1)连结OF. 根据切线的性质得到BO平分∠EBF，CO平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质求解；
(2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理可得到BE + CG的长；
(3)由三角形的面积公式即可求得OF的长.

答案：
解:
(1)如图,连结OF.根据切线长定理得BE=BF,CF=CG,∠OBF=∠OBE,∠OCF=∠OCG.

∵AB//CD,
∴∠ABC+∠BCD=180°,
∴∠OBF+∠OCF=90°,
∴∠BOC=90°.
(2)由
(1)知,∠BOC=90°.
∵OB = 6 cm，OC = 8 cm，
∴由勾股定理得BC = $\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}$ = 10(cm)，
∴BE + CG = BC = 10(cm).
(3)
∵OF⊥BC，
∴OF = $\frac{OB\cdot OC}{BC}$ = 4.8(cm).