《2026年知识清单高中物理必修+选择性必修》

例3 一光滑的圆锥体固定在水平桌面上,其轴线沿竖直方向,其顶角为60°,如图所示,一条长为L的轻绳,一端固定在圆锥顶O点,另一端拴一质量为m的小球（可视为质点）,当小球静止时,轻绳与圆锥的母线平行。小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动,重力加速度为g,则：
（1）当$v = \sqrt{\frac{1}{6}gL}$时,绳上的拉力多大?
（2）当$v = \sqrt{\frac{3}{2}gL}$时,绳上的拉力多大?

答案： （1）$\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$
（2）$2mg$
解析：题中的临界状态是小球与圆锥体恰好分离，其临界条件是小球与圆锥体间的弹力恰好为0，此时小球的向心力由绳的拉力沿水平方向的分力提供。先算出小球与圆锥体恰好分离时的速度，再确定题的两问中小球与圆锥体是否已经分离，如果分离，绳与竖直方向的夹角不一定是30°。
当小球刚好对圆锥体没有压力时$mg\tan30^{\circ}=m\frac{v_0^2}{L\sin30^{\circ}}$，求得小球的线速度为$v_0 = \sqrt{\frac{\sqrt{3}}{6}gL}$。
（1）因为$v=\sqrt{\frac{1}{6}gL}＜v_0$，所以小球受三个力，如图所示，用正交分解法解题，在竖直方向有$F_T\cos30^{\circ}+F_N\sin30^{\circ}=mg$，在水平方向有$F_T\sin30^{\circ}-F_N\cos30^{\circ}=m\frac{v^2}{L\sin30^{\circ}}$，解得$F_T=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$。
（2）因为$v = \sqrt{\frac{3}{2}gL}＞v_0$，所以小球对圆锥体无压力，设此时绳与竖直方向的夹角为φ，则有$mg\tan\varphi=m\frac{v^2}{L\sin\varphi}$，解得$\varphi = 60^{\circ}$，因此$F_T=\frac{mg}{\cos60^{\circ}}=2mg$。