《2026年知识清单高中物理必修+选择性必修》

2.安阻法：电路原理图如图丙、丁所示，图丙中的$R_1$、$R_2$为定值电阻，图丁中的$R$是电阻箱，这两个电路图的测量原理相同，都是通过改变外电路的电阻来测得不同电阻值所对应的电流$I$，测得两组数据$(I_1,R_1)$、$(I_2,R_2)$，然后利用闭合电路欧姆定律列方程$E = I_1(R_1 + r)$和$E = I_2(R_2 + r)$。
可解得$E=\frac{I_1I_2(R_1 - R_2)}{I_2 - I_1}$，$r=\frac{I_1R_1 - I_2R_2}{I_2 - I_1}$
当然，若测得多组数据，也可用图像法求解。由闭合电路欧姆定律可得$\frac{1}{I}=\frac{r}{E}+\left(\frac{1}{E}\right)R$，可作出$\frac{1}{I}-R$图像，图线斜率的倒数为电源电动势，纵截距为$\frac{r}{E}$，从而可求出电源电动势和内阻，此方法测得的电动势是准确的，内阻偏大。

答案： 已知两组数据$(I_1,R_1)$、$(I_2,R_2)$，根据闭合电路欧姆定律列方程：
$E = I_1(R_1 + r)$ （1）
$E = I_2(R_2 + r)$ （2）
（1）式减（2）式：$I_1(R_1 + r)-I_2(R_2 + r)=0$
$I_1R_1 + I_1r - I_2R_2 - I_2r = 0$
$r(I_1 - I_2)=I_2R_2 - I_1R_1$
$r=\frac{I_2R_2 - I_1R_1}{I_1 - I_2}=\frac{I_1R_1 - I_2R_2}{I_2 - I_1}$
将$r$代入（1）式：$E = I_1\left(R_1+\frac{I_1R_1 - I_2R_2}{I_2 - I_1}\right)=I_1\left(\frac{R_1(I_2 - I_1)+I_1R_1 - I_2R_2}{I_2 - I_1}\right)=I_1\left(\frac{R_1I_2 - R_1I_1 + I_1R_1 - I_2R_2}{I_2 - I_1}\right)=\frac{I_1I_2(R_1 - R_2)}{I_2 - I_1}$
图像法中，$\frac{1}{I}=\frac{r}{E}+\frac{1}{E}R$，斜率$k=\frac{1}{E}$，则$E=\frac{1}{k}$；纵截距$b=\frac{r}{E}$，则$r = bE$，考虑电流表内阻时，$r_{测}=r_{真}+R_A$，故内阻偏大。

3.伏伏法：电路如图所示，闭合$S_1$，断开$S_2$，测得$V_1$、$V_2$的示数为$U_1$、$U_2$，此时$E = U_1+U_2+\frac{U_1}{R_V}r$，$R_V$为$V_1$的内阻；再闭合$S_2$，$V_1$的示数为$U_1'$，此时$E = U_1'+\frac{U_1'}{R_V}r$。解方程组可得$E$和$r$。

答案： 根据题意列方程：
$E = U_1+U_2+\frac{U_1}{R_V}r$ （1）
$E = U_1'+\frac{U_1'}{R_V}r$ （2）
（2）式减（1）式：$0 = U_1' - U_1 - U_2+\frac{r}{R_V}(U_1' - U_1)$
$\frac{r}{R_V}(U_1' - U_1)=U_1 + U_2 - U_1'$
$r=\frac{(U_1 + U_2 - U_1')R_V}{U_1' - U_1}$
将$r$代入（2）式：$E = U_1'+\frac{U_1'}{R_V}·\frac{(U_1 + U_2 - U_1')R_V}{U_1' - U_1}=U_1'+\frac{U_1'(U_1 + U_2 - U_1')}{U_1' - U_1}=\frac{U_1'(U_1' - U_1)+U_1'(U_1 + U_2 - U_1')}{U_1' - U_1}=\frac{U_1'U_2}{U_1' - U_1}$