《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

18.(本题满分8分)
在直角坐标平面内，点$O$为坐标原点，二次函数$y = x^{2} + (k - 5)x - (k + 4)$的图线交$x$轴于点$A(x_{1},0)$，$B(x_{2},0)$，且$(x_{1} + 1)(x_{2} + 1) = -8$.
(1)求二次函数的表达式；
(2)将上述二次函数图线沿$x$轴向右平移2个单位长度，设平移后的图线与$y$轴的交点为$C$，顶点为$P$，求$\triangle POC$的面积.

答案： 18.解:
(1)已知$x_1$，$x_2$是$x^{2} + (k - 5)x - (k + 4) = 0$的两根，
　所以$\begin{cases} x_1 + x_2 = -(k - 5), \\x_1x_2 = -(k + 4). \end{cases}$
　又因为$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = - 8$，
　所以$x_1x_2 + (x_1 + x_2) + 9 = 0$，
　所以$- (k + 4) - (k - 5) + 9 = 0$，
　所以$k = 5$，
　所以$y = x^{2} - 9$.
(2)已知平移后的函数表达式为$y = (x - 2)^{2} - 9$，且$x = 0$时$y = - 5$，
　所以$C(0, - 5)$，$P(2, - 9)$.
　$S_{\triangle POC} = \frac{1}{2} × 5 × 2 = 5$.