《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

22.(本题满分12分)
在$ Rt\triangle ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,过点$B$的直线$MN// AC$,$D$为$BC$边上一点,连接$AD$,作
$DE\perp AD$交$MN$于点$E$,连接$AE$.
(1)如图(1),当$\angle ABC = 45^{\circ}$时,求证:$AD = DE$.
(2)如图(2),当$\angle ABC = 30^{\circ}$时,线段$AD$与$DE$有何数量关系?请说明理由.
(3)当$\angle ABC = \alpha$时,请直接写出线段$AD$与$DE$的数量关系.(用含$\alpha$的三角函数表示)

答案：
22.
(1)证明:如图1,过点D作DF⊥BC,交AB于点F,
则∠BDE+∠FDE=90°.
因为DE⊥AD,
所以∠FDE+∠ADF =90°,

所以∠BDE=∠ADF.
因为∠BAC=90°,∠ABC=45°,
所以∠C=45°.
因为MN//AC,
所以∠EBD=180° - ∠C=135°,
因为∠BFD=45°,DF⊥BC,
所以∠BFD=45°,BD=DF,
所以∠AFD=135°,
所以∠EBD=∠AFD.
在△BDE和△FDA中
$\begin{cases}∠EBD=∠AFD,\\BD=DF,\\∠BDE=∠ADF,\end{cases}$
所以△BDE≌△FDA(ASA),
所以AD=DE.
(2)解$:DE=\sqrt{3}AD.$
理由:如图2,过点D作DG⊥BC,交AB于点G，
则∠BDE+∠GDE=90°.
因为DE⊥AD,
所以∠GDE+∠ADG=90°,
所以∠BDE=∠ADG.
因为∠BAC=90°,∠ABC=30°,
所以∠C=60°.
因为MN//AC,
所以∠EBD=180° - ∠C=120°.
因为∠ABC=30°,DG⊥BC,
所以∠BGD=60°,
所以∠AGD=120°,
所以∠EBD=∠AGD,

所以△BDE∽△GDA,
所以$\frac{AD}{DE}=\frac{DG}{BD}.$
在Rt△BDG中，
$\frac{DG}{BD}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3},$
所以$DE=\sqrt{3}AD.$
(3)AD=DE·tanα.
理由:如图2,∠BDE+∠GDE=90°.
因为DE⊥AD,
所以∠GDE+∠ADG=90°,
所以∠BDE=∠ADG.
因为∠EBD=90°+α,∠AGD=90°+α,
所以∠EBD=∠AGD,
所以△EBD∽△AGD,
所以$\frac{AD}{DE}=\frac{DG}{BD}.$
在Rt△BDG中，
$\frac{DG}{BD}=tanα,$则$\frac{AD}{DE}=tanα,$
所以AD=DEtanα.