《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

20.(本题满分12分)
如图,$AB,AC$分别是$\odot O$的直径和弦,$OD\perp AC$于点$D$.过点$A$作$\odot O$的切线与$OD$的延
长线交于点$P$,$PC$与$AB$的延长线交于点$F$.
(1)求证:$PC$是$\odot O$的切线;
(2)若$\angle ABC = 60^{\circ}$,$AB = 10$,求线段$CF$的长.

答案： 20.解:
(1)连接OC.
因为OD⊥AC,OD经过圆心O，
所以AD=CD,
所以PA=PC.
在△OAP和△OCP中，
$\begin{cases}OA=OC,\\PA=PC,\\OP=OP,\end{cases}$
所以△OAP≌△OCP（SSS）,
所以∠OCP=∠OAP.
因为PA是⊙O的切线，
所以∠OAP=90°,
所以∠OCP=90°,
即OC⊥PC,
所以PC是⊙O的切线.
(2)因为OB=OC,∠OBC=60°,
所以△OBC是等边三角形,
所以∠COB=60°.
因为AB=10,
所以OC=5，
由
(1)知∠OCF=90°,
所以$CF=OCtan∠COB=5\sqrt{3}$