《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

18. (本题满分$8$分)
如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AD$为$BC$边上的中线,$DE \perp AB$于点$E$.
(1) 求证:$\triangle BDE \backsim \triangle CAD$;
(2) 若$AB = 13$,$BC = 10$,求线段$DE$的长.

答案： 18.解：
(1)因为$AB = AC,BD = CD$,
所以$AD \perp BC,\angle B = \angle C$.
因为$DE \perp AB$,
所以$\angle DEB = \angle ADC$,
所以$\triangle BDE \backsim \triangle CAD$.
(2)因为$AB = AC,BD = CD$,
所以$AD \perp BC$.
在$Rt\triangle ADB$中,$AD = \sqrt{AB^{2} - BD^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$,
因为$\frac{1}{2}AD · BD = \frac{1}{2}AB · DE$,
所以$DE = \frac{60}{13}$.

19. (本题满分$10$分)
如图,折叠矩形$ABCD$,使点$D$落在$BC$边上的点$F$处.
(1) 求证:$\triangle ABF \backsim \triangle FCE$;
(2) 若$DC = 8$,$CF = 4$,求矩形$ABCD$的面积$S$.

答案：
19.
(1)证明：因为矩形$ABCD$中，
$\angle B = \angle C = \angle D = 90^{\circ}$,
所以$\angle BAF + \angle AFB = 90^{\circ}$.
由折叠性质得$\angle AFE = \angle D = 90^{\circ}$,
所以$\angle AFB + \angle EFC = 90^{\circ}$,
所以$\angle BAF = \angle EFC$,
所以$\triangle ABF \backsim \triangle FCE$.
(2)解：由折叠性质得$AF = AD,DE = EF$.
设$DE = EF = x$,则$CE = CD - DE = 8 - x$.
在$Rt\triangle EFC$中,$EF^{2} = CE^{2} + CF^{2}$,
所以$x^{2} = (8 - x)^{2} + 4^{2}$,
解得$x = 5$.
由
(1)得$\triangle ABF \backsim \triangle FCE$,
所以$\frac{AF}{EF} = \frac{AB}{CF}$,
所以$AF = \frac{8}{4} × 5 = 10$,
所以$AD = AF = 10$.
所以$S = AD · CD = 10 × 8 = 80$.