《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

20. (本题满分$10$分)
如图,在等腰$\triangle MBC$中,$MB = MC$,点$A,P$分别在$MB,BC$上,作$\angle APE = \angle B$,$PE$交$CM$于点$E$.
(1) 求证:$\frac{AP}{PE} = \frac{BP}{CE}$;
(2) 设$BP = x$,$BC = 7$,$CE = y$,$AB = 4$,求$y$与$x$之间的函数关系式.

答案： 20.解：
(1)因为$MB = MC$,
所以$\angle B = \angle C = \angle APE$.
因为$\angle APC = \angle B + \angle BAP$,
即$\angle APE + \angle EPC = \angle B + \angle BAP$,
所以$\angle BAP = \angle EPC$,
所以$\triangle APB \backsim \triangle PEC$,
所以$\frac{AP}{PE} = \frac{BP}{CE}$.
(2)因为$\triangle APB \backsim \triangle PEC$,
所以$\frac{BP}{EC} = \frac{AB}{PC}$.
因为$BP = x$,则$PC = 7 - x$.
因为$CE = y,AB = 4$,
所以$\frac{x}{y} = \frac{4}{7 - x}$,
整理得$y = -\frac{1}{4}x^{2} + \frac{7}{4}x$.