《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

23. (本题满分 12 分)
如图(1),在四边形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E(不与点 A,B 重合),分别连接 ED,EC,可以把四边形 ABCD 分成三个三角形.如果其中有两个三角形相似,我们就把 E 叫作四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把 E 叫作四边形 ABCD 的边 AB 上的强相似点.

【解决问题】
(1)如图(1),∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点 E 是否是四边形 ABCD 的边 AB 上的相似点,并说明理由.
(2)如图(2),在矩形 ABCD 中,AB=5,BC=2,且 A,B,C,D 四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为 1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图(2)中画出矩形 ABCD 的边 AB 上的一个强相似点 E.
【拓展探究】
(3)如图(3),将矩形 ABCD 沿 CM 折叠,使点 D 落在 AB 边上的点 E 处.若点 E 恰好是四边形 ABCM 的边 AB 上的一个强相似点,试探究 AB 和 BC 的数量关系.

答案：
23.解:
(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.理由:
　因为∠A=55°，
　所以∠ADE+∠DEA=125°.
　因为∠DEC=55°,
　所以∠BEC+∠DEA=125°,
　所以∠ADE=∠BEC.
　因为∠A=∠B,
　所以△ADE∽△BEC.
　所以点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.
(2)作图如下:
　 　　
(3)因为点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
　　所以△AEM∽△BCE∽△ECM,
　　所以∠BCE=∠ECM=∠AEM.
　　由折叠可知△ECM≌△DCM,
　　所以∠ECM=∠DCM,CE=CD,
　　所以∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°,
　　所以BE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB.
　　所以BC= $\sqrt{CE^2-BE^2}$=$\sqrt{AB^2-(\frac{1}{2}AB)^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB.