《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

23.(本题满分12分)
[阅读理解]如图(1),在$ Rt\triangle ABC$中,$a,b,c$分别是$\angle A,\angle B,\angle C$的对边,$\angle C = 90^{\circ}$,其外接
圆半径为$R$.根据锐角三角函数的定义有$\sin A = \frac{a}{c}$,$\sin B = \frac{b}{c}$,可得$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = c = 2R$,即
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$(规定$\sin 90^{\circ} = 1$).

[探究活动]如图(2),在锐角$\triangle ABC$中,$a,b,c$分别是$\angle A,\angle B,\angle C$的对边,其外接圆半径
为$R$,那么$\frac{a}{\sin A} - \frac{b}{\sin B} - \frac{c}{\sin C}$(用“＞”“=”或“＜”连接),并说明理由.

[初步应用]事实上,以上结论适用于任意三角形.在$\triangle ABC$中,$a,b,c$分别是$\angle A,\angle B,\angle C$
的对边,$\angle B = 30^{\circ}$,$\angle C = 45^{\circ}$,$b = \sqrt{2}$,求$c$.
[综合应用]如图(3),在某次数学实践活动中,小莹同学测量一栋楼$AB$的高度,在$A$处用
测角仪测得地面点$C$处的俯角为$45^{\circ}$,点$D$处的俯角为$15^{\circ}$,$B,C,D$在一条直线上,且$C,D$
两点的距离为100米.求楼$AB$的高度.(参考数据:$\sqrt{3} \approx 1.7$,$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$)

答案： 23.[探究活动]= =
证明:连接CO,并延长交⊙O于点D，连接BD，所以∠A=∠D,∠BDC=90°,
所以sinA=sinD.
在Rt△BCD中$,sinD=\frac{BC}{CD}=\frac{a}{2R},$
所以$\frac{a}{sinA}=\frac{a}{sinD}=\frac{a}{2R}=2R.$
同理可证$\frac{b}{sinB}=2R,\frac{c}{sinC}=2R.$
所以$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}.$
[初步应用]
因为$∠B=30°,∠C=45°,b=\sqrt{2},$
$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC},$
即$\frac{\sqrt{2}}{sin30°}=\frac{c}{sin45°}.$
所以$c=\frac{\sqrt{2}sin45°}{sin30°}=\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=2.$
[综合应用]
由题意可得∠ADC=15°,∠CAD=30°,CD=100,∠ACB=45°.
在△ACD中，$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AC}{sinD},$
即$\frac{100}{sin30°}=\frac{AC}{sin15°},$
所以$AC=\frac{100sin15°}{sin30°}=\frac{100×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=100\sqrt{6}-100\sqrt{2}.$
在Rt△ABC中，
$AB=ACsin∠ACB=(100\sqrt{6}-100\sqrt{2})×\frac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{3}-100=170 - 100=70,$
AB的高度大约为70米.