《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

21. (本题满分 $12$ 分)
如图，点 $C$ 在以 $AB$ 为直径的半圆$\odot O$ 上，$AC = BC$. 以 $B$ 为圆心、以 $BC$ 的长为半径画圆弧
交 $AB$ 于点 $D$.
(1) 求$\angle ABC$ 的度数；
(2) 若 $AB = 4$，求阴影部分的面积.

答案： 21.解:
(1)因为$AB$为半圆$\odot O$的直径，
所以$\angle ACB=90^{\circ}$.
因为$AC=BC$，
所以$\angle ABC=45^{\circ}$.
(2)因为$\angle ACB=90^{\circ}$，$AB=4$，
所以$AC=BC=2\sqrt{2}$
所以阴影部分的面积为
$S_{\triangle ABC}-S_{ 扇形BCD}$
$=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}-\frac{45×\pi×(2\sqrt{2})^{2}}{360}=4-\pi$.

22. (本题满分 $12$ 分)
如图，在$\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，以 $AB$ 为直径作$\odot O$，分别交 $BC$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$，$DH \bot$
$AC$，垂足为 $H$，连接 $DE$ 并延长交 $BA$ 的延长线于点 $F$.
(1) 求证：$DH$ 是$\odot O$ 的切线；
(2) 若 $E$ 为 $AH$ 的中点，求$\frac{EF}{FD}$的值.

答案：
22.
(1)证明:连接$OD$，如图所示.
　　　　　
因为$OB=OD$，
所以$\angle OBD=\angle ODB$.
因为$AB=AC$，
所以$\angle ABC=\angle ACB$，
所以$\angle ODB=\angle ACB$，
所以$OD// AC$;
因为$DH\perp AC$，
所以$DH\perp OD$.
因为$OD$是$\odot O$的半径，
所以$DH$是$\odot O$的切线.
(2)解:连接$AD$，如图所示.
因为$AB$为$\odot O$的直径，
所以$OA=OB$，$\angle ADB=90^{\circ}$.
因为$AB=AC$，
所以$BD=CD$，
所以$OD=\frac{1}{2}AC$，$OD// AC$，
所以$\triangle AEF\sim\triangle ODF$，
所以$\frac{FE}{FD}=\frac{AE}{OD}$.
因为$\angle CED+\angle DEA=180^{\circ}$，$\angle B+\angle DEA=180^{\circ}$，
所以$\angle CED=\angle B=\angle C$，
所以$CD=ED$，
因为$DH\perp AC$，
所以$CH=EH$，
因为$E$为$AH$的中点，
所以$AE=EH=CH$，
所以$\frac{FE}{FD}=\frac{AE}{OD}=\frac{\frac{1}{3}AC}{\frac{1}{2}AC}=\frac{2}{3}$.