《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

19. (本题满分10分)
如图,$AD$是$\triangle ABC$的中线,$\tan B = \frac{1}{3}$,$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{2}$,$AC = \sqrt{2}$.求:
(1)$BC$的长;
(2)$\sin\angle ADC$的值.

答案： 19.解:
(1)过点A作AE⊥BC于点E.
　因为cosC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
　所以∠C=45°.
　在Rt△ACE中,CE=AC·cosC=1,
　所以AE=CE=1.
　在Rt△ABE中,tanB=$\frac{1}{3}$,即$\frac{AE}{BE}$=$\frac{1}{3}$,
　所以BE=3AE=3.
　所以BC=BE+CE=4.
(2)因为AD是△ABC的中线，
　所以CD=$\frac{1}{2}$BC=2.
　所以DE=CD−CE=1.
　因为AE⊥BC,DE=AE,
　所以∠ADC=45°.
　所以sin∠ADC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

20. (本题满分10分)
胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴,凌驾于滔滔黄河之上,使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔$AB$垂直于桥面$BC$于点$B$,其中两条斜拉索$AD$,$AC$与桥面$BC$的夹角分别为$60^{\circ}$和$45^{\circ}$,两固定点$D$,$C$之间的距离约为$33\ m$,求主塔$AB$的高度.(结果保留整数,参考数据:$\sqrt{2} \approx 1.41$,$\sqrt{3} \approx 1.73$)

答案： 20.解:在Rt△ADB中,∠ADB=60°,tan∠ADB=$\frac{AB}{BD}$,
所以BD=$\frac{AB}{\tan 60°}$=$\frac{AB}{\sqrt{3}}$.
　在Rt△ABC中,∠C=45°,tan∠C=$\frac{AB}{BC}$,
　所以BC=$\frac{AB}{\tan 45°}$=AB.
　因为BC−BD=CD=33m,
　所以AB−$\frac{AB}{\sqrt{3}}$=33,
　所以AB=$\frac{99+33\sqrt{3}}{2}$≈78(m).
　答:主塔AB的高约为78m.