《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

17. (本题满分8分)
如图,$\widehat{AB}$的半径OA=2,OC⊥AB于点C,∠AOC=60°.
(1)求弦AB的长;
(2)求$\widehat{AB}$的长.

答案： 17.解:
(1)因为$\widehat{AB}$的半径$OA = 2$，$OC\perp AB$于点$C$，$\angle AOC = 60^{\circ}$，
所以$AC = OA\sin60^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。
所以$AB = 2AC = 2\sqrt{3}$。
(2)因为$OC\perp AB$，$\angle AOC = 60^{\circ}$，
所以$\angle AOB = 120^{\circ}$。
因为$OA = 2$，
所以$\widehat{AB}$的长是$\frac{120\pi×2}{180}=\frac{4\pi}{3}$。

18. (本题满分8分)
如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,AD⊥BC于点E.
(1)求证:∠BAD=∠CAD.
(2)连接BO并延长,交AC于点F,交⊙O于点G,连接GC.若⊙O的半径为5,OE=3,求GC和OF的长.

答案：
18.
(1)证明:因为$AD$是$\odot O$的直径，$AD\perp BC$，
所以$\widehat{BD}=\widehat{CD}$，
所以$\angle BAD=\angle CAD$。
(2)解:在$Rt\triangle BOE$中，$OB = 5$，$OE = 3$，
所以$BE = \sqrt{OB^{2}-OE^{2}} = 4$。

因为$AD$是$\odot O$的直径，$AD\perp BC$，
所以$BC = 2BE = 8$。
因为$BG$是$\odot O$的直径，
所以$\angle BCG = 90^{\circ}$，
所以$GC = \sqrt{BG^{2}-BC^{2}} = 6$。
因为$AD\perp BC$，$\angle BCG = 90^{\circ}$，
所以$AE// GC$，
所以$\triangle AFO\sim\triangle CFG$，
所以$\frac{OA}{GC}=\frac{OF}{FG}$，即$\frac{5}{6}=\frac{OF}{5 - OF}$，
解得$OF=\frac{25}{11}$。