《2025年同步练习册分层检测卷九年级数学上册青岛版》

18. (本题满分$10$分)
如图所示,在$\triangle ABC$中$,AD$是$BC$边上的高$,AE$是$BC$边上的中线$,\angle C = 45^{\circ},\sin B = \frac{1}{3}$,$AD = 1$.
$(1)$求$BC$的长;
$(2)$求$\tan\angle DAE$的值.

答案： 18.解:
(1)在$\triangle ABC$中,因为$AD$是$BC$边上的高，所以$\angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ}$.
在$\triangle ADC$中,因为$\angle ADC = 90^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$，$AD = 1$，
所以$DC = AD = 1$.
在$\triangle ADB$中,因为$\angle ADB = 90^{\circ}$，$\sin B = \frac{1}{3}$，$AD = 1$，
所以$AB = \frac{AD}{\sin B}=3$，
所以$BD = \sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=2\sqrt{2}$，
所以$BC = BD + DC = 2\sqrt{2}+1$.
(2)因为$AE$是$BC$边上的中线，
所以$CE = \frac{1}{2}BC = \sqrt{2}+\frac{1}{2}$，
所以$DE = CE - CD = \sqrt{2}-\frac{1}{2}$，
所以$\tan\angle DAE = \frac{DE}{AD}=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$.