《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

20. 【情境再现】
甲、乙两个含$45^{\circ}$角的直角三角尺如图①放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足$O$处.将甲绕点$O$顺时针旋转一定角度到图②位置.小莹用作图软件按图②作出示意图,并连接$AG$,$BH$,$AO$,如图③所示,$AB交HO于点E$,$AC交OG于点F$,$\triangle OBE\cong \triangle OAF$.
求证$AG = BH$.
【迁移应用】
延长$GA分别交HO$,$HB于点P$,$D$,如图④,猜想并证明$DG与BH$的位置关系.

答案： 【情境再现】证明 由阅读材料知△OBE≌△OAF，
∴BE=AF，OE=OF，∠BEO=∠AFO，
∴∠BEH=∠AFG.
∵OH=OG，
∴OH - OE=OG - OF，即EH=GF.
∵在△BHE和△AGF中，$\left\{\begin{array}{l} BE=AF,\\ ∠BEH=∠AFG,\\ EH=FG,\end{array}\right. $
∴△BHE≌△AGF(SAS)，
∴BH=AG.【迁移应用】解 猜想：DG⊥BH.证明：由【情境再现】知，△BHE≌△AGF，
∴∠BHE=∠AGF.
∵∠HOG=90°，
∴∠AGF+∠GPO=90°，
∴∠BHE+∠GPO=90°.
∵∠GPO=∠HPD，
∴∠BHE+∠HPD=90°，
∴∠HDP=90°，
∴DG⊥BH.

21. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在边BC$的延长线上,$\angle ACB = 108^{\circ}$,$BE平分\angle ABC交AD于点E$,过点$E作EH\perp BD$,垂足为$H$,$\angle CEH = 54^{\circ}$.
(1)求$\angle ACE$的度数；
(2)请判断$AE是否平分\angle CAF$,并说明理由；
(3)若$AC + CD = 10$,$AB = 6$,且$S_{\triangle ACD}= 15$,求$\triangle ABE$的面积.

答案：
解
(1)
∵∠ACB=108°，
∴∠ACD=180° - 108°=72°.
∵EH⊥BD，
∴∠CHE=90°.
∵∠CEH=54°，
∴∠ECH=90° - 54°=36°，
∴∠ACE=72° - 36°=36°.
(2)AE平分∠CAF，理由：如图，过点E分别作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EH.
∵由
(1)知∠ACE=∠ECH=36°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN=EH，
∴EM=EN，
∴AE平分∠CAF.
(3)
∵AC+CD=10，S△ACD=15，且由
(2)知EM=EN=EH，
∴S△ACD=S△ACE+S△CED=$\frac {1}{2}$AC·EN+$\frac {1}{2}$CD·EH=$\frac {1}{2}$(AC+CD)·EM=15，即$\frac {1}{2}$×10·EM=15，解得EM=3.
∵AB=6，
∴S△ABE=$\frac {1}{2}$AB·EM=$\frac {1}{2}$×6×3=9.