《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

19. 如图,在平面直角坐标系中,$ \triangle ABC $ 三个顶点的坐标分别为 $ A(-4,1) $,$ B(-2,3) $,$ C(1,-2) $.
(1)请画出 $ \triangle ABC $ 关于 $ y $ 轴对称的图形 $ \triangle A'B'C' $,并写出 $ A' $,$ B' $,$ C' $ 的坐标；
(2)求 $ \triangle A'B'C' $ 的面积.

答案：
解
(1)△A'B'C'如图.由图知,A'(4,1),B'(2,3),C'(-1,-2).
(2)S△A'B'C' = 5×5 - $\frac{1}{2}$×2×2 - $\frac{1}{2}$×3×5 - $\frac{1}{2}$×3×5 = 8.

20. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = AC $,$ D $ 是 $ BC $ 的中点,连接 $ AD $,$ BE $ 平分 $ \angle ABC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EF // BC $ 交 $ AB $ 于点 $ F $.

(1)若 $ \angle C = 40° $,求 $ \angle BAD $ 的度数.
(2)求证：$ \triangle BEF $ 是等腰三角形.
(3)若 $ BE $ 平分 $ \triangle ABC $ 的周长,$ \triangle AEF $ 的周长为 15,求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案：
(1)解
∵AB = AC,
∴∠C = ∠ABC = 40°.
∵D为BC的中点,
∴AD⊥BC,即∠BDA = 90°,
∴∠BAD = 90° - ∠ABC = 90° - 40° = 50°.
(2)证明
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE = ∠EBC.
∵EF//BC,
∴∠EBC = ∠BEF,
∴∠EBF = ∠FEB,
∴BF = EF,
∴△BEF是等腰三角形.
(3)解
∵△AEF的周长为15,
∴AE + AF + EF = 15.
∵由
(2)知,BF = EF,
∴AE + AF + BF = 15,即AE + AB = 15.
∵BE平分△ABC的周长,
∴AE + AB = BC + CE = 15,
∴△ABC的周长为AE + AB + BC + CE = 15 + 15 = 30.

21. 如图,$ \triangle ABC $ 和 $ \triangle CDE $ 都是等边三角形,$ AD $,$ BE $ 相交于点 $ O $,$ M $,$ N $ 分别是线段 $ AD $,$ BE $ 的中点.

(1)求证 $ AD = BE $.
(2)求 $ \angle DOE $ 的度数.
(3)求证：$ \triangle MNC $ 是等边三角形.

答案：
(1)证明
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴AC = BC,CD = CE,∠ACB = ∠DCE = 60°,
∴∠ACB + ∠BCD = ∠DCE + ∠BCD,
∴∠ACD = ∠BCE.
∵在△ACD和△BCE中,$\left\{\begin{array}{l}AC = BC,\\ ∠ACD = ∠BCE,\\ CD = CE,\end{array}\right.$
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD = BE.
(2)解
∵由
(1)知△ACD≌△BCE,
∴∠ADC = ∠BEC.
∵△DCE是等边三角形,
∴∠CED = ∠CDE = 60°,
∴∠ADE + ∠BED = ∠ADC + ∠CDE + ∠BED = ∠ADC + 60° + ∠BED = ∠CED + 60° = 60° + 60° = 120°,
∴∠DOE = 180° - (∠ADE + ∠BED) = 60°.
(3)证明
∵由
(1)知△ACD≌△BCE,
∴∠CAD = ∠CBE,AD = BE,AC = BC.
∵点M,N分别是线段AD,BE的中点,
∴AM = $\frac{1}{2}$AD,BN = $\frac{1}{2}$BE,
∴AM = BN.
∵在△ACM和△BCN中,$\left\{\begin{array}{l}AC = BC,\\ ∠CAM = ∠CBN,\\ AM = BN,\end{array}\right.$
∴△ACM≌△BCN(SAS),
∴CM = CN,∠ACM = ∠BCN.
∵∠ACB = 60°,
∴∠ACM + ∠MCB = 60°,
∴∠BCN + ∠MCB = 60°,
∴∠MCN = 60°,
∴△MNC是等边三角形.