《2025年同步测控优化设计八年级数学上册人教版福建专版》

19. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D在BC$上,点$E在AC$上,$AD交BE于点F$.已知$EG// AD交BC于点G$,$EH\perp BE交BC于点H$,$\angle HEG = 50^{\circ}$.
(1)求$\angle BFD$的度数；
(2)若$\angle BAD= \angle EBC$,$\angle C = 41^{\circ}$,求$\angle BAC$的度数.

答案： 解
(1)
∵EH⊥BE,
∴∠BEH=90°.
∵∠HEG=50°,
∴∠BEG=40°.
∵EG//AD,
∴∠BFD=∠BEG=40°.
(2)
∵∠BFD=∠BAD+∠ABE,∠BAD=∠EBC,
∴∠BFD=∠EBC+∠ABE=∠ABC=40°,
∵∠C=41°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-40°-41°=99°.

20. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 2\angle C$,$AE平分\angle BAC交BC于点E$.
(1)若$AD\perp BC于点D$,$\angle C = 40^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数；
(2)若$EF\perp AE交AC于点F$,求证$\angle C = 2\angle FEC$.

答案：

(1)解如图，作AD⊥BC于点D.
∵∠C=40°,∠B=2∠C,
∴∠B=80°,
∴∠BAC=60°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠EAC=30°.
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=50°,
∴∠DAE=50°-30°=20°.

(2)证明如图,作EF⊥AE,交AC于点F.
∵EF⊥AE,
∴∠AEF=90°.
∵∠B=2∠C,
即∠3=2∠5.
∴设∠C=∠5=x,
则∠B=∠3=2x.
∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
设∠1=∠2=y,则∠2+∠5=∠4=x+y,
∴∠3+∠1+∠4=2x+y+x+y=180°,
∴3x+2y=180°,即3/2x+y=90°.
∵∠4+∠6=x+y+∠6=90°,
∴∠6=1/2x,即∠5=2∠6,
∴∠C=2∠FEC.

21. 在$\triangle ABC$中,$AE平分\angle BAC$,$AD\perp BC于点D$,$\angle B = 70^{\circ}$,$\angle C = 34^{\circ}$.
(1)如图①,试求$\angle DAE$的度数.请把$\angle B$,$\angle C$,$\angle DAE$的关系规律化(不需要证明).
(2)设$F为AE$上任一点,当它在$AE$上滑动时,$AD变成FD$,如图②,结论还成立吗？当它滑动到$AE$的延长线上时,$AD变成FD$,如图③,结论还成立吗？证明你的结论.

答案：
解
(1)如题图①,
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°.
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-34°=76°,AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC=1/2×76°=38°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=38°-20°=18°,
∴∠B,∠C,∠DAE的关系为∠DAE=1/2(∠B-∠C).
(2)成立.
如图a,作AH⊥BC于点H,由
(1)得∠HAE=1/2(∠B-∠C).
∵AH//FD,
∴∠DFE=∠HAE,
∴∠DFE=1/2(∠B-∠C)成立.
如图b,作AH⊥BC于点H,由
(1)得∠HAE=1/2(∠B-∠C),
∵AH//FD,
∴∠F=∠HAE,
∴∠DFE=1/2(∠B-∠C)成立.