《2025年课课练江苏八年级数学上册苏科版》

6. 如图,在等边三角形 $ABC$ 中,$AC = 12\mathrm{cm}$,点 $M$ 以 $2\mathrm{cm/s}$ 的速度从点 $B$ 出发向点 $A$ 运动(不与点 $A$ 重合),点 $N$ 以 $3\mathrm{cm/s}$ 的速度从点 $C$ 出发向点 $B$ 运动(不与点 $B$ 重合),设点 $M$,$N$ 同时运动,运动时间为 $t\mathrm{s}$.
(1)在点 $M$,$N$ 运动过程中,经过几秒后 $\triangle BMN$ 为等边三角形？
(2)在点 $M$,$N$ 运动过程中,$\triangle BMN$ 的形状能否为直角三角形,若能,请计算运动时间 $t$；若不能,请说明理由.

答案： 解：​
(1)​由题意，得$​ BM=2\ \mathrm {t} {cm}，$$​​BN=(12-3\ \mathrm {t}) {cm}​$
则当​ BM=BN ​时，​△BMN ​是等边三角形
∴$​2t=12-3\ \mathrm {t}，$​解得$​ t=\frac {12}5​$
∴​ ​经过$​ \frac {12}5\ \mathrm {s} ​$时，​△ BMN ​为等边三角形
​
(2)​
∵​△ABC ​是等边三角形，
∴​∠B=60°​
分以下两种情况：​①​当​ ∠BMN=90° ​时，
∵​∠B=60°，​
∴​∠BNM=30°，​
∴$​BM=\frac 12BN​$
∴$​2t=\frac 12(12-3\ \mathrm {t})，$​
∴$​t=\frac {12}7​$
​②​当​ ∠BNM=90° ​时
∵​∠B=60°，​
∴​∠BMN=30°，​
∴$​BN=\frac 12BM​$
∴$​12-3t=\frac 12×2t，$​
∴​t=3​
∴​ ​在点​ M，​​N ​运动过程中，当运动时间为$​\frac {12}7​$或$​3\ \mathrm {s} ​$时，
​△BMN​是直角三角形

7. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,分别以 $AB$,$AC$ 为边向外作等边三角形 $ABD$、等边三角形 $ACE$,$CD$ 与 $BE$ 相交于点 $P$.
(1)求证：$CD = BE$.
(2)求 $\angle BPC$ 的度数.
(3)连接 $AP$,求证：$AP$ 平分 $\angle DPE$.

答案：

​
(1)​证明：
∵​∆ABD、​​∆ACE​是等边三角形
∴​AD=AB，​​AC=AE，​​∠BAD=∠CAE=60°​
∴​∠DAC=∠BAE​
​ ​在​∆DAC​和​∆BAE​中
$​\begin {cases}\ \mathrm {A}D=AB\\∠DAC=∠BAE\\AC=AE \end {cases}​$
∴​∆DAC≌∆BAE(S AS)​
∴​CD=BE​
​
(2)∠BP C=120°​
由​
(1)​知​∆DAC≌∆BAE，​
∴​∠ACD=∠AEB​
∵​∠AEC=60°​
∴​∠PEC=∠AEC-∠AEB=60°-∠ACD​
∴​∠BP C=∠P CE+∠PEC=∠ACD+60°-∠ACD=120°​
​
(3)​证明：过​A​作​AM⊥CD​于​M，​​AN⊥BE​于​N​
∵​∆DAC≌∆BAE​
∴$​S_{△DAC}=S△∆BAE​$
又​CD=BE，​
∴​AM=AN​
∴​AP ​平分​∠DPE​