《2025年课课练江苏八年级数学上册苏科版》

6. 如图,BP,CP分别是△ABC的外角平分线,PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N.求证：AP平分∠MAN.

答案：
证明：过点​P {作}P D⊥BC​于点​D​
∵​BP ​是​∆ABC​的外角平分线，​PM⊥AB，​​P D⊥BC​
∴​PM=P D​
∵​CP ​是​∆ABC​的外角平分线，​PN⊥AC，​​P D⊥BC​
∴​PN=P D​
∴​PM=PN​
又
∵​PM⊥AB，​​PN⊥AC​
∴​AP ​平分​∠MAN​

7. 已知∠AOB= 90°,OC是∠AOB的平分线.三角板的直角顶点P在射线OC上移动,
(1)在图①中,三角板的两直角边分别与OA,OB交于M,N,求证：PM= PN.
(2)在图②中,三角板的一条直角边与OB交于点N,另一条直角边与OA的反向延长线交于点M.猜想此时(1)中的结论是否成立,画出图形,并说明理由.

答案：

​
(1)​证明：过点​P {作}PE⊥OA​于点​E，​​PF⊥OB​于点​F​
∵​OC​是​∠AOB​的角平分线，
∴​PE=PF，​​∠PEM=∠PFN=90°​
∵​∠MPE+∠MPF=90°，​​∠NPF+∠MPF=90°​
∴​∠MPE=∠NPF​
在​△PME​和​△PNF {中}​
$​ \begin {cases}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠MPE=∠NPF}\end {cases}​$
∴​△PME≌△ PNF(AS A)​
∴​PM=PN​
​
(2)​过点​P {作}PE⊥OA​于点​E，​​PF⊥OB​于点​F​
∵​OC​是​∠AOB​的角平分线，
∴​PE=PF，​​∠PEM=∠PFN=90°​
∵​∠MPE+∠MPF=90°，​​∠NPF+∠MPF=90°​
∴​∠MPE=∠NPF​
在​△PME​和​△PNF {中}​
$​ \begin {cases}{∠PEM=∠PFN}\\{PE=PF}\\{∠MPE=∠NPF}\end {cases}​$
∴​△PME≌△ PNF(AS A)​
∴​PM=PN​