《2025年资源与评价黑龙江教育出版社七年级数学上册人教版》

9. 我们都知道乌鸦喝水的故事，现在来做一个道理相同的游戏：如图，在圆柱形玻璃桶里已有一定量的水，将大小相同的围棋子一个个慢慢投入其中，显然，在有水溢出之前，每投入一个棋子，桶里水位的高度都会有变化.
（1）投入第一个棋子后，水位上升了多少厘米？
（2）设投入了 $ n $ 个棋子，且没有水溢出，此时桶里水位的高度是 $ h $，试用含 $ n $ 的式子表示 $ h $.
（3）小源经过思考和计算以后，认为投入 $ 72 $ 个棋子，正好可使水位达到桶的高度. 你同意他的观点吗？说说理由.

答案： 9.解：
(1)已知投入12个棋子，水位上升了15 -
12 = 3(cm)，
$3 ÷ 12 = \frac{1}{4}(cm).$
答：投入一个棋子，水位上升$\frac{1}{4}cm.$
$(2)h = 12 + \frac{1}{4}n.$
(3)同意.理由：当n = 72时，$h = 12 + \frac{1}{4}×72 =$
30(cm)，恰好达到桶的高度.

10. 阅读理解：已知 $ a x ^ { 2 } + b x + c = - ( 2 x - 1 ) ^ { 3 } $，求 $ a + b + c $ 的值.
解：把 $ x = 1 $ 代入上式，得 $ a × 1 ^ { 2 } + b × 1 + c = - ( 2 × 1 - 1 ) ^ { 3 } $，即 $ a + b + c = - 1 $.
根据上面的解法，回答下列问题：
(1)填空：$ 4 a + 2 b + c = $-27，$ c = $1.
(2)求 $ a - b + 2024 c $ 的值.

答案： 10.解：
(1)把x = 2代入上式，得$a×2^2 + b×2 +$
$c = -(2×2 - 1)^3，$即4a + 2b + c = -(2×
$2 - 1)^3 = -27.$
把x = 0代入上式，得$c = -(2×0 - 1)^3 = 1.$
故答案为-27；1.
(2)将x = -1代入$ax^2 + bx + c = -(2x - 1)^3，$
得$a - b + c = -(-2 - 1)^3 = 27，$
则a - b + 2024c = a - b + c + 2023c = 27 +
2023×1 = 2050.

11. 对于有理数对 $ [ a, b ] $，我们给出如下定义：若 $ a $，$ b $ 满足 $ a - b = 3 a b - 1 $，则称 $ [ a, b ] $ 为“和谐有理数对”. 例如：$ - \frac { 1 } { 5 } - 2 = 3 × ( - \frac { 1 } { 5 } ) × 2 - 1 $，则数对 $ [ - \frac { 1 } { 5 }, 2 ] $ 是“和谐有理数对”.
(1)在 $ [ - 1, 0 ] $，$ [ 2, 2 ] $，$ [ - \frac { 1 } { 2 }, - 1 ] $ 中，是“和谐有理数对”的是[-1,0]，$[-\frac{1}{2}, -1]$.
(2)若 $ [ m, n ] $ 是“和谐有理数对”，则 $ [ - n, - m ] $是(填“是”或“不是”)“和谐有理数对”，请说明理由.

答案： 11.解：
(1)[-1,0]，$[-\frac{1}{2}, -1].$
(2)是.
理由如下：
因为[m, n]是“和谐有理数对”，
所以m - n = 3mn - 1.
当a = -n，b = -m时，
a - b = -n - (-m) = -n + m = m - n，
3ab - 1 = 3×(-n)×(-m) - 1 = 3mn - 1
所以[-n, -m]是“和谐有理数对”.