《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

4. 已知$a = 2 + \sqrt{3}$,$b = 2 - \sqrt{3}$,求$a^2 - 2ab + b^2$的值.

答案： 解：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
∵$a = 2 + \sqrt{3}$，$b = 2 - \sqrt{3}$
∴$a - b = (2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
∴原式$=(2\sqrt{3})^2 = 12$
答：$a^2 - 2ab + b^2$的值为$12$。

5. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式,此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙,即三角形的三边长分别为a,b,c,记$p = \frac{a + b + c}{2}$,则其面积$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$.
(1)当三角形的三边$a = 3$,$b = 5$,$c = 6$时,请你利用公式计算出三角形的面积；
(2)一个三角形的三边长依次为$\sqrt{5}$,$\sqrt{6}$,$\sqrt{7}$,请求出三角形的面积.

答案： $(1)$
解：已知$a = 3$，$b = 5$，$c = 6$，
首先求$p$的值：
$p=\frac{a + b + c}{2}=\frac{3 + 5 + 6}{2}=\frac{14}{2}=7$。
然后求三角形面积$S$：
$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}=\sqrt{7×(7 - 3)×(7 - 5)×(7 - 6)}$
$=\sqrt{7×4×2×1}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}$。
$(2)$
解：已知$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{6}$，$c=\sqrt{7}$，
先求$p$的值：
$p=\frac{a + b + c}{2}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2}$。
再求$p - a$，$p - b$，$p - c$的值：
$p - a=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2}-\sqrt{5}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$，
$p - b=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2}-\sqrt{6}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{6}}{2}$，
$p - c=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2}-\sqrt{7}=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7}}{2}$。
最后求三角形面积$S$：
$S=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$
$=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7}}{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7}}{2}}$
$=\sqrt{\frac{(\sqrt{6}+\sqrt{7})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}{4}×\frac{(\sqrt{5})^{2}-(\sqrt{6}-\sqrt{7})^{2}}{4}}$
$=\sqrt{\frac{(6 + 2\sqrt{42}+7 - 5)(5-(6 - 2\sqrt{42}+7))}{16}}$
$=\sqrt{\frac{(8 + 2\sqrt{42})(2\sqrt{42}-8)}{16}}$
$=\sqrt{\frac{(2\sqrt{42})^{2}-8^{2}}{16}}=\sqrt{\frac{168 - 64}{16}}=\sqrt{\frac{104}{16}}=\frac{\sqrt{26}}{2}$。
综上，$(1)$三角形面积为$\boldsymbol{2\sqrt{14}}$；$(2)$三角形面积为$\boldsymbol{\frac{\sqrt{26}}{2}}$。