《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

2. 综合实践活动中,某小组用木板自制了一个测高仪测量树高,测高仪$ABCD$为正方形,$AB= 30\ \text{cm}$,顶点$A处挂了一个铅锤M$. 如图9是测量树高的示意图,测高仪上的点$D$,$A与树顶E$在一条直线上,铅垂线$AM交BC于点H$. 经测量,点$A$距地面1.8 m,到树$EG的距离AF= 11\ \text{m}$,$BH= 20\ \text{cm}$. 求树$EG$的高度(结果精确到0.1 m).

答案： 1. 首先，根据正方形性质和相似三角形判定：
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD// BC$。
由$AD// BC$，可得$\triangle ADH\sim\triangle AE F$（两直线平行，同位角相等，从而得到三角形相似）。
已知$AB = 30cm$，$BH = 20cm$，则$CH=AB - BH=30 - 20 = 10cm$。
因为$\triangle ADH\sim\triangle AEF$，所以$\frac{CH}{EF}=\frac{AD}{AF}$（相似三角形对应边成比例）。
这里$AD = AB = 30cm=0.3m$，$CH = 10cm = 0.1m$，$AF = 11m$。
2. 然后，代入比例式求解$EF$：
把$AD = 0.3m$，$CH = 0.1m$，$AF = 11m$代入$\frac{CH}{EF}=\frac{AD}{AF}$，即$\frac{0.1}{EF}=\frac{0.3}{11}$。
根据比例的性质“内项之积等于外项之积”，可得$0.3EF=0.1×11$。
解得$EF=\frac{0.1×11}{0.3}=\frac{11}{3}m$。
3. 最后，求树高$EG$：
已知点$A$距地面$AG_1 = 1.8m$，树高$EG=EF + FG$（$FG = AG_1$）。
所以$EG=\frac{11}{3}+1.8=\frac{11 + 5.4}{3}=\frac{16.4}{3}\approx5.5m$。
答：树$EG$的高度约为$5.5m$。

3. 知识改变世界,科技改变生活. 导航装备的不断更新极大方便了人们的出行. 如图10,某校组织学生乘车到海口市的火山口地质公园(用$C$点表示)开展社会实践活动,车到达$A$点后,发现$C点恰好在A$点的正北方向,且距离$A$点12千米,导航显示车辆应沿东偏北$60^{\circ}方向行驶至B$点,再沿北偏西$45^{\circ}方向行驶一段距离才能到达C$点,求$B$,$C$两点的距离(结果保留根号).

答案： 解：过点$B$作$BD\perp AC$于点$D$。
因为$\angle CBD = 45^{\circ}$，$\angle A = 60^{\circ}$，$AC = 12$千米。
在$Rt\triangle ABD$中，$\tan A=\frac{BD}{AD}$，即$\tan60^{\circ}=\frac{BD}{AD}$，设$AD = x$千米，则$BD = \sqrt{3}x$千米。
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle CBD = 45^{\circ}$，所以$BD = CD=\sqrt{3}x$千米。
又因为$AC = AD + CD$，所以$x+\sqrt{3}x = 12$，
$x(1 + \sqrt{3}) = 12$，
$x=\frac{12}{1 + \sqrt{3}}=\frac{12(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}=\frac{12(1 - \sqrt{3})}{1 - 3}=6(\sqrt{3}- 1)$。
则$BC=\sqrt{2}BD=\sqrt{2}×\sqrt{3}x$，把$x = 6(\sqrt{3}- 1)$代入得：
$BC=\sqrt{6}×6(\sqrt{3}- 1)=6\sqrt{6}(\sqrt{3}- 1)=6\sqrt{18}-6\sqrt{6}=18\sqrt{2}-6\sqrt{6}$（千米）。
所以$B$，$C$两点的距离为$(18\sqrt{2}-6\sqrt{6})$千米。