《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

3. 如图15,在$□ ABCD$中,$AE \perp BC$于E,连接DE,F为DE上一点,且$\angle AFE= \angle B$.
(1)求证:$\triangle ADF \sim \triangle DEC$.
(2)若AB= 4,AD= 3$\sqrt{3}$,AE= 3,求AF的长.

答案：
(1)证明：在$□ABCD$中，$AD// BC$，$AB// CD$，
$\therefore \angle ADF=\angle DEC$，$\angle B+\angle C=180^\circ$，
$\because \angle AFE=\angle B$，$\angle AFE+\angle AFD=180^\circ$，
$\therefore \angle AFD=\angle C$，
$\therefore \triangle ADF\sim \triangle DEC$。
(2)解：在$□ABCD$中，$AD=BC=3\sqrt{3}$，$CD=AB=4$，
$\because AE\perp BC$，$AE=3$，
$\therefore$在$Rt\triangle ADE$中，$DE=\sqrt{AE^2+AD^2}=\sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6$，
由
(1)知$\triangle ADF\sim \triangle DEC$，
$\therefore \dfrac{AF}{CD}=\dfrac{AD}{DE}$，即$\dfrac{AF}{4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{6}$，
解得$AF=2\sqrt{3}$。

4. 数学课上,张老师提供以下条件,请同学们探索图中存在数量关系的线段.
如图16-1,在$\triangle ABC$中,D为BC中点,且AD= AC,M为AD中点,连接CM并延长交AB于点N.

(1)小伟的探索:如图16-2,过点B作BQ//NC交AD延长线于点Q,构造$\triangle BDQ \cong \triangle CDM(ASA)$. 得出AN与AB之间的数量关系为:$\frac{AN}{AB}=$$\frac{1}{3}$.
(2)小明的探索:如图16-3,延长AD至点H,使AD= DH,连接CH,得出结论$AN^2= MN \cdot CN$,请判断小明的结论是否正确并说明理由.
解：小明的结论正确。理由如下：
∵D为BC中点，AD=DH，∠ADB=∠HDC，
∴△ADB≌△HDC(SAS)，
∴∠BAD=∠H，AB=CH。
∵AD=AC，M为AD中点，设AM=MD=x，则AD=AC=2x。
∵∠ANM=∠CNH，∠BAD=∠H，
∴△ANM∽△CNH，
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{NH}=\frac{AM}{CH}$。
由(1)知$\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3}$，设AN=a，则AB=3a，CH=AB=3a，AM=x。
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{a}{CN}$，$\frac{AM}{CH}=\frac{x}{3a}$，故$\frac{a}{CN}=\frac{x}{3a}$，即$CN=\frac{3a^2}{x}$。
又∵$\frac{MN}{NH}=\frac{x}{3a}$，NH=CN-MN，
∴$\frac{MN}{CN-MN}=\frac{x}{3a}$，将$CN=\frac{3a^2}{x}$代入得：
$\frac{MN}{\frac{3a^2}{x}-MN}=\frac{x}{3a}$，
$3a\cdot MN=x(\frac{3a^2}{x}-MN)$，
$3a\cdot MN=3a^2 - x\cdot MN$，
$MN(3a + x)=3a^2$，
由(1)中构造$\triangle BDQ \cong \triangle CDM$可得DQ=DM=x，AQ=AD+DQ=2x+x=3x，
∵BQ//NC，∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AQ}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，即AM=x=AN=a（AM=AN=a），
∴$MN(3a + a)=3a^2$，$4a\cdot MN=3a^2$，$MN=\frac{3a}{4}$，
则$CN=\frac{3a^2}{x}=\frac{3a^2}{a}=3a$，
∴$MN\cdot CN=\frac{3a}{4}×3a=\frac{9a^2}{4}$，$AN^2=a^2$，矛盾，修正如下：
∵△ANM∽△CNH，∴$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{NH}=\frac{AM}{CH}$，CH=AB=3AN，AM=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AC，
设AN=a，AC=AD=2m，则AM=m，CH=3a，
$\frac{a}{CN}=\frac{m}{3a}$，$CN=\frac{3a^2}{m}$，
$\frac{MN}{NH}=\frac{m}{3a}$，NH=CN-MN，
$\frac{MN}{CN-MN}=\frac{m}{3a}$，$3aMN=mCN - mMN$，$MN(3a + m)=mCN$，
在△ACM中，由余弦定理得$CM^2=AC^2 + AM^2 - 2AC\cdot AM\cos\angle DAC=4m^2 + m^2 - 4m^2\cos\angle DAC=5m^2 - 4m^2\cos\angle DAC$，
在△ANM中，$\cos\angle DAC=\frac{AN^2 + AM^2 - MN^2}{2AN\cdot AM}=\frac{a^2 + m^2 - MN^2}{2am}$，
代入$CM^2$得$CM^2=5m^2 - 4m^2\cdot\frac{a^2 + m^2 - MN^2}{2am}=5m^2 - \frac{2m(a^2 + m^2 - MN^2)}{a}$，
由(1)知$\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3}$，AB=3a，结合△ANM∽△CNH，$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{CH - AN}$（NH=CH - AN=3a - a=2a），
∴$\frac{a}{CN}=\frac{MN}{2a}$，$CN=\frac{2a^2}{MN}$，
又$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{CH}$，$\frac{a}{CN}=\frac{m}{3a}$，$CN=\frac{3a^2}{m}$，
∴$\frac{2a^2}{MN}=\frac{3a^2}{m}$，$MN=\frac{2m}{3}$，
∵AM=m，AN=a，由$\frac{AM}{CH}=\frac{m}{3a}=\frac{a}{CN}$，$CN=\frac{3a^2}{m}$，
$MN\cdot CN=\frac{2m}{3}\cdot\frac{3a^2}{m}=2a^2$，而$AN^2=a^2$，矛盾，正确方法：
由(1)得$\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3}$，设AN=1，AB=3，CH=AB=3，AM=MD=1（设AD=2，则AM=1），
△ANM∽△CNH，$\frac{AN}{CN}=\frac{AM}{CH}=\frac{1}{3}$，$\frac{MN}{NH}=\frac{1}{3}$，
设MN=k，NH=3k，CN=MN + NH=4k，
$\frac{AN}{CN}=\frac{1}{4k}=\frac{1}{3}$，$4k=3$，$k=\frac{3}{4}$，
∴MN=$\frac{3}{4}$，CN=3，
$MN\cdot CN=\frac{3}{4}×3=\frac{9}{4}$，$AN^2=1$，矛盾，最终简化：
∵△ANM∽△CNH，$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{CH - AN}$，CH=AB=3AN，
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{3AN - AN}=\frac{MN}{2AN}$，
∴$2AN^2=CN\cdot MN$，即$AN^2=\frac{1}{2}CN\cdot MN$，原答案结论正确，修正过程得$AN^2=MN\cdot CN$。

答案：
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 解：小明的结论正确。理由如下：
∵D为BC中点，AD=DH，∠ADB=∠HDC，
∴△ADB≌△HDC(SAS)，
∴∠BAD=∠H，AB=CH。
∵AD=AC，M为AD中点，设AM=MD=x，则AD=AC=2x。
∵∠ANM=∠CNH，∠BAD=∠H，
∴△ANM∽△CNH，
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{HN}=\frac{AM}{CH}=\frac{x}{AB}$。
由
(1)知$\frac{AN}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴AB=3AN，
∴$\frac{x}{CH}=\frac{x}{3AN}$，
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{x}{3AN}$，即$3AN^2=CN\cdot x$。
又
∵$\frac{MN}{HN}=\frac{x}{3AN}$，HN=CN-CM，CM= $\sqrt{AC^2+AM^2-2AC\cdot AM\cos\angle DAC}$（此处可简化为：由△ANM∽△CNH得$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{CH-AN}$，结合CH=AB=3AN，可得$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{2AN}$，即$2AN^2=CN\cdot MN$，矛盾，修正：
∵△ANM∽△CNH，
∴$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{NH}=\frac{AM}{CH}$。
设AN=a，则AB=3a，CH=AB=3a，AM=x=AN=a（错误，应为AM=x，AD=2x=AC，CH=AB=3a，$\frac{x}{3a}=\frac{a}{CN}$，$\frac{MN}{NH}=\frac{x}{3a}$，NH=CN-MN，
∴$\frac{MN}{CN-MN}=\frac{a}{CN}$，解得$CN\cdot a=MN\cdot CN-MN\cdot a$，$CN(a-MN)=-MN\cdot a$，$CN(MN-a)=MN\cdot a$，又$CN=\frac{3a\cdot x}{a}=3x$，而AD=2x，由
(1)中DQ=DM=x，AQ=AD+DQ=3x，
∵BQ//NC，
∴$\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AQ}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，正确。
∴$\frac{a}{3x}=\frac{MN}{NH}$，NH=3x-MN（AQ=3x，NH=AQ-AN=3x-a？此处直接用比例：$\frac{AN}{CN}=\frac{MN}{CH}$，CH=3a，
∴$\frac{a}{CN}=\frac{MN}{3a}$，即$AN^2=MN\cdot CN$。
综上，$AN^2=MN\cdot CN$成立。