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7. 如图6,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^\circ$,$AD \perp BC$于D. 若AB= 6,AC= 8,则BD等于(
A.3
B.3.6
C.4
D.6
B
)A.3
B.3.6
C.4
D.6
答案：
【解析】：本题可先根据勾股定理求出斜边$BC$的长度，再利用三角形面积公式求出斜边上的高$AD$，最后在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理求出$BD$的长度。
步骤一：求斜边$BC$的长度
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$AC = 8$，根据勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$，可得：
$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$
步骤二：求斜边上的高$AD$的长度
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$\triangle ABC$的面积有两种表示方法：
以$AB$和$AC$为直角边时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
以$BC$为底，$AD$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$。
由于$\triangle ABC$的面积是固定的，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AD = 24$，将$BC = 10$代入可得：
$\frac{1}{2}×10× AD = 24$
$5AD = 24$
$AD = 4.8$
步骤三：求$BD$的长度
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$AD = 4.8$，根据勾股定理$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}$，可得：
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{6^{2}-4.8^{2}}=\sqrt{36 - 23.04}=\sqrt{12.96}=3.6$
【答案】：B
步骤一：求斜边$BC$的长度
在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$AC = 8$，根据勾股定理$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$，可得：
$BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$
步骤二：求斜边上的高$AD$的长度
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$\triangle ABC$的面积有两种表示方法：
以$AB$和$AC$为直角边时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}×6×8 = 24$。
以$BC$为底，$AD$为高时，$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$。
由于$\triangle ABC$的面积是固定的，所以$\frac{1}{2}BC\cdot AD = 24$，将$BC = 10$代入可得：
$\frac{1}{2}×10× AD = 24$
$5AD = 24$
$AD = 4.8$
步骤三：求$BD$的长度
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle ADB = 90^{\circ}$，$AB = 6$，$AD = 4.8$，根据勾股定理$BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}$，可得：
$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{6^{2}-4.8^{2}}=\sqrt{36 - 23.04}=\sqrt{12.96}=3.6$
【答案】：B
8. 如图7,已知在$□ ABCD$中,E为AD的中点,CE的延长线交BA的延长线于点F,则下列选项中的结论错误的是(
A.$FA:FB= 1:2$
B.$AE:BC= 1:2$
C.$BE:CF= 1:2$
D.$S_{\triangle ABE}:S_{\triangle FBC}= 1:4$
C
)A.$FA:FB= 1:2$
B.$AE:BC= 1:2$
C.$BE:CF= 1:2$
D.$S_{\triangle ABE}:S_{\triangle FBC}= 1:4$
答案：
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，AD//BC．
∵E为AD中点，
∴AE=ED=1/2AD=1/2BC，故B正确．
∵AB//CD，
∴∠F=∠ECD，∠FAE=∠D．
在△FAE和△CDE中，
∠F=∠ECD，∠FAE=∠D，AE=DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴FA=CD=AB，
∴FB=FA+AB=2FA，
∴FA:FB=1:2，故A正确．
设S△ABE=S，
∵FA=AB，
∴S△FBE=2S△ABE=2S，
∵AD//BC，
∴△FBC∽△FAE，且相似比FA:FB=1:2，
∴S△FAE:S△FBC=1:4，又S△FAE=S△CDE=S△ABE=S，
∴S△FBC=4S，
∴S△ABE:S△FBC=1:4，故D正确．
BE与CF不一定存在1:2关系，结论错误的是C．
答案：C
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AB//CD，AD//BC．
∵E为AD中点，
∴AE=ED=1/2AD=1/2BC，故B正确．
∵AB//CD，
∴∠F=∠ECD，∠FAE=∠D．
在△FAE和△CDE中，
∠F=∠ECD，∠FAE=∠D，AE=DE，
∴△FAE≌△CDE（AAS），
∴FA=CD=AB，
∴FB=FA+AB=2FA，
∴FA:FB=1:2，故A正确．
设S△ABE=S，
∵FA=AB，
∴S△FBE=2S△ABE=2S，
∵AD//BC，
∴△FBC∽△FAE，且相似比FA:FB=1:2，
∴S△FAE:S△FBC=1:4，又S△FAE=S△CDE=S△ABE=S，
∴S△FBC=4S，
∴S△ABE:S△FBC=1:4，故D正确．
BE与CF不一定存在1:2关系，结论错误的是C．
答案：C
9. 如图8,将$\triangle ABC$沿BC边上的中线AD平移到$\triangle A'B'C'$的位置,已知$\triangle ABC$的面积为9,阴影部分三角形的面积为4. 若$AA'= 1$,则$A'D$等于(
A.2
B.3
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
A
)A.2
B.3
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{3}{2}$
答案：
解：设$A'D = x$，则$AD = AA' + A'D = 1 + x$。
因为$\triangle ABC$沿中线$AD$平移得到$\triangle A'B'C'$，所以$A'E // AB$，$A'F // AC$（$E$、$F$为阴影三角形与$AB$、$AC$交点），故$\triangle A'EF \sim \triangle ABC$，且相似比为$\frac{A'D}{AD} = \frac{x}{x + 1}$。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^2 = \frac{S_{\triangle A'EF}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{4}{9}$。
解得$\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$（负值舍去），$3x = 2(x + 1)$，$x = 2$。
答案：A
因为$\triangle ABC$沿中线$AD$平移得到$\triangle A'B'C'$，所以$A'E // AB$，$A'F // AC$（$E$、$F$为阴影三角形与$AB$、$AC$交点），故$\triangle A'EF \sim \triangle ABC$，且相似比为$\frac{A'D}{AD} = \frac{x}{x + 1}$。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，得$\left(\frac{x}{x + 1}\right)^2 = \frac{S_{\triangle A'EF}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{4}{9}$。
解得$\frac{x}{x + 1} = \frac{2}{3}$（负值舍去），$3x = 2(x + 1)$，$x = 2$。
答案：A
10. 如图9,点P是线段AB上一点(AP＞BP),若满足$\frac{BP}{AP}= \frac{AP}{AB}$,则称点P是AB的黄金分割点. 黄金分割在日常生活中处处可见,例如:主持人在舞台上主持节目时,站在黄金分割点上,观众看上去感觉最好. 若舞台长20米,主持人从舞台一侧(点B处)进入,设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上,则x满足的方程是(
A.$(20-x)^2= 20x$
B.$x^2= 20(20-x)$
C.$x(20-x)= 20^2$
D.以上都不对
A
)A.$(20-x)^2= 20x$
B.$x^2= 20(20-x)$
C.$x(20-x)= 20^2$
D.以上都不对
答案：
【解析】：本题考查了黄金分割点的概念及相关方程的建立。
已知点$P$是线段$AB$上一点（$AP\gt BP$），且满足$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，这就是黄金分割点的定义。
舞台长$20$米，即$AB = 20$米，主持人从舞台一侧（点$B$处）进入，至少走$x$米时恰好站在舞台的黄金分割点上，那么$BP=x$米，$AP=(20 - x)$米。
将$BP=x$，$AP=(20 - x)$，$AB = 20$代入到$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$中，可得$\frac{x}{20 - x}=\frac{20 - x}{20}$。
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，对$\frac{x}{20 - x}=\frac{20 - x}{20}$进行转化：
$x×20=(20 - x)×(20 - x)$，即$(20 - x)^2 = 20x$。
【答案】：A。
已知点$P$是线段$AB$上一点（$AP\gt BP$），且满足$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$，这就是黄金分割点的定义。
舞台长$20$米，即$AB = 20$米，主持人从舞台一侧（点$B$处）进入，至少走$x$米时恰好站在舞台的黄金分割点上，那么$BP=x$米，$AP=(20 - x)$米。
将$BP=x$，$AP=(20 - x)$，$AB = 20$代入到$\frac{BP}{AP}=\frac{AP}{AB}$中，可得$\frac{x}{20 - x}=\frac{20 - x}{20}$。
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，对$\frac{x}{20 - x}=\frac{20 - x}{20}$进行转化：
$x×20=(20 - x)×(20 - x)$，即$(20 - x)^2 = 20x$。
【答案】：A。
11. 若$\frac{a}{a+b}= \frac{3}{5}$,则$\frac{a}{b}= $
$\frac{3}{2}$
.
答案：
解：由$\frac{a}{a + b} = \frac{3}{5}$，交叉相乘得$5a = 3(a + b)$，
去括号得$5a = 3a + 3b$，
移项得$5a - 3a = 3b$，
合并同类项得$2a = 3b$，
两边同时除以$2b$（$b \neq 0$）得$\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
去括号得$5a = 3a + 3b$，
移项得$5a - 3a = 3b$，
合并同类项得$2a = 3b$，
两边同时除以$2b$（$b \neq 0$）得$\frac{a}{b} = \frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$
12. 如图10,利用标杆BE测量建筑物DC的高度,如果标杆BE长为1.2米,测得AB= 1.6米,BC= 8.4米. 则楼高CD是
7.5
米.
答案：
【解析】：本题可根据相似三角形的性质来求解建筑物$DC$的高度。
步骤一：证明$\triangle ABE$与$\triangle ACD$相似
因为$BE\perp AC$，$CD\perp AC$，所以$BE// CD$。
根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$\triangle ABE\sim\triangle ACD$。
步骤二：根据相似三角形的性质列出比例式
相似三角形对应边成比例，由于$\triangle ABE\sim\triangle ACD$，则有$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$。
已知$AB = 1.6$米，$BC = 8.4$米，所以$AC=AB + BC=1.6 + 8.4 = 10$米，又已知$BE = 1.2$米。
将$AB = 1.6$米，$AC = 10$米，$BE = 1.2$米代入$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$中，得到$\frac{1.6}{10}=\frac{1.2}{CD}$。
步骤三：求解$CD$的值
由$\frac{1.6}{10}=\frac{1.2}{CD}$，交叉相乘可得$1.6× CD = 1.2×10$，即$1.6CD = 12$，两边同时除以$1.6$，解得$CD = 7.5$米。
【答案】：$7.5$
步骤一：证明$\triangle ABE$与$\triangle ACD$相似
因为$BE\perp AC$，$CD\perp AC$，所以$BE// CD$。
根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可得$\triangle ABE\sim\triangle ACD$。
步骤二：根据相似三角形的性质列出比例式
相似三角形对应边成比例，由于$\triangle ABE\sim\triangle ACD$，则有$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$。
已知$AB = 1.6$米，$BC = 8.4$米，所以$AC=AB + BC=1.6 + 8.4 = 10$米，又已知$BE = 1.2$米。
将$AB = 1.6$米，$AC = 10$米，$BE = 1.2$米代入$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CD}$中，得到$\frac{1.6}{10}=\frac{1.2}{CD}$。
步骤三：求解$CD$的值
由$\frac{1.6}{10}=\frac{1.2}{CD}$，交叉相乘可得$1.6× CD = 1.2×10$，即$1.6CD = 12$，两边同时除以$1.6$，解得$CD = 7.5$米。
【答案】：$7.5$
13. 如图11,在菱形ABCD中,P,Q分别是AD,AC的中点,若PQ= 3,则菱形ABCD的周长等于
24
.
答案：
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，且P，Q分别是AD，AC的中点，
∴PQ是△ADC的中位线，
∴PQ=1/2 CD，
∵PQ=3，
∴CD=6，
∴菱形ABCD的周长=4×CD=4×6=24。
24
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，且P，Q分别是AD，AC的中点，
∴PQ是△ADC的中位线，
∴PQ=1/2 CD，
∵PQ=3，
∴CD=6，
∴菱形ABCD的周长=4×CD=4×6=24。
24
14. 如图12,把$\triangle ABC$沿BC边平移到$\triangle A_1B_1C_1$的位置,它们重叠部分(即图中阴影部分)的面积是$\triangle ABC的面积的\frac{1}{9}$. 若BC= 6 cm,则$\triangle ABC$平移的距离是
4
cm.
答案：
解：设平移距离为 $ x $ cm，则 $ B_1C = BC - BB_1 = 6 - x $。
因为平移，所以 $ A_1B_1 // AB $，故重叠部分三角形与 $ \triangle ABC $ 相似。
相似比为 $ \frac{B_1C}{BC} = \frac{6 - x}{6} $。
面积比为相似比的平方，即 $ \left( \frac{6 - x}{6} \right)^2 = \frac{1}{9} $。
解得 $ \frac{6 - x}{6} = \frac{1}{3} $（负值舍去），$ 6 - x = 2 $，$ x = 4 $。
答案：4
因为平移，所以 $ A_1B_1 // AB $，故重叠部分三角形与 $ \triangle ABC $ 相似。
相似比为 $ \frac{B_1C}{BC} = \frac{6 - x}{6} $。
面积比为相似比的平方，即 $ \left( \frac{6 - x}{6} \right)^2 = \frac{1}{9} $。
解得 $ \frac{6 - x}{6} = \frac{1}{3} $（负值舍去），$ 6 - x = 2 $，$ x = 4 $。
答案：4
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