《2025年新课程课堂同步练习册九年级数学上册华师大版》

4. 2024年6月2日,嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背面. 某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置,在一次试验中,如图11,该模拟装置在缓速下降阶段从$A点垂直下降到B$点,再垂直下降到着陆点$C$,从$B点测得地面D点的俯角为36.87^{\circ}$,$AD= 17$米,$BD= 10$米.
(1)求$CD$的长;
(2)若模拟装置从$A$点以每秒2米的速度匀速下降到$B$点,求模拟装置从$A点下降到B$点的时间(参考数据:$\sin36.87^{\circ}\approx0.60$,$\cos36.87^{\circ}\approx0.80$,$\tan36.87^{\circ}\approx0.75$).

答案：
(1)解：由题意得：$\angle C=90^{\circ}$，$\angle BDC=36.87^{\circ}$
在$Rt\triangle BCD$中，$\cos\angle BDC=\frac{CD}{BD}$
$\because BD=10$米，$\cos36.87^{\circ}\approx0.80$
$\therefore CD=BD\cdot\cos36.87^{\circ}\approx10×0.80=8$米
(2)解：在$Rt\triangle ACD$中，$AD=17$米，$CD=8$米
$\therefore AC=\sqrt{AD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15$米
在$Rt\triangle BCD$中，$\sin\angle BDC=\frac{BC}{BD}$
$\because BD=10$米，$\sin36.87^{\circ}\approx0.60$
$\therefore BC=BD\cdot\sin36.87^{\circ}\approx10×0.60=6$米
$\therefore AB=AC-BC=15-6=9$米
$\because$速度为每秒2米
$\therefore$时间为$9÷2=4.5$秒
答：
(1)$CD$的长约为8米；
(2)模拟装置从$A$点下降到$B$点的时间为4.5秒。

5. 如图12,某拦河坝截面的原设计方案为:$AH// BC$,坡角$\angle ABC= 74^{\circ}$,坝顶到坝脚的距离$AB= 6\ \text{m}$. 为了提高拦河坝的安全性,现将斜坡$AB的坡度改为1:0.7$,由此,点$A需向右平移至点D$,请你计算$AD$的长(精确到0.1 m. 参考数据:$\sin74^{\circ}\approx0.96$,$\cos74^{\circ}\approx0.28$,$\tan74^{\circ}\approx3.49$).

答案： 解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F。
∵AH//BC，
∴AE=DF。
在Rt△ABE中，∠ABC=74°，AB=6m，
AE=AB·sin74°≈6×0.96=5.76m，
BE=AB·cos74°≈6×0.28=1.68m。
∵斜坡DB的坡度为1:0.7，即DF/BF=1/0.7，
DF=AE=5.76m，
∴BF=0.7·DF=0.7×5.76=4.032m。
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，AD=EF=BF-BE=4.032-1.68=2.352≈2.4m。
答：AD的长约为2.4m。